matrici e autovettori

[sgabryx]

salve a tutti, mi sono imbattuta in una domanda di algebra lineare che diceva:
"Esiste A una matrice quadrata di ordine 3 avente autovalori −1,1,0 ed autovettori rispettivamente (−3,0,6),(0,1,1),(2,0,−4)?"
avevo pensato di ragionare usando la definizione di autovettore e di autovalore e ricavare quindi i vettori che potrebbero formare tale matrice. in particolare:
$ f(v1)=-1*v1 $ quindi $ v1=f(v1)/(-1)=(3;0;-6)$

$ f(v2)=1*v2=v2 $ quindi $v2=(0;1;1) $

$f(v3)=0* v3 $ quindi $v3= f(v3)/0 $ che non ha soluzione, ottenendo quindi che non esiste la matrice A.

E' corretto come ragionamento? o c'è un altro metodo per risolvere la questione?
grazie mille per l'attenzione!

[anto_zoolander]

Se ci pensi $-3/2(2,0,-4)=(-3,0,6)$ quindi sono linearmente dipendenti quindi apparterrebbero allo stesso autospazio e pertanto non quei tre vettori non possono avere tutti e tre autovalori distinti

Di fatto se fossero auto vettori relativi ad autovalori differenti sarebbero linearmente indipendenti => fold

[sgabryx]

chiedo per essere sicurissima.
quindi otteniamo che in pratica sia $ (2,0,-4)$ che $(-3,0,6)$ appartengono allo stesso autospazio quindi allo stesso autovettore quindi è falso che ci sono tre autovalori distinti.
in sostanza sarebbe stato comodo calcolare il determinante e vedere che il rango è minore di tre e quindi non ci sono tre autovalori differenti relativi a quegli autovettori?

[anto_zoolander]

Attenzione potrebbe benissimo avere quei tre autovalori, ma sicuramente non rispettivamente a quei tre autovettori.

Infatti puoi calcolare il determinate, vedere che è $0$, quindi concludere che non possono essere autovettori relativi ad autovalori differenti, poichè se così fosse sarebbero linearmente indipendenti.

[sgabryx]

Sisi questo era chiaro, non possono esserlo rispetto quegli specifici autovettori.

Perfetto, grazie mille anche per il metodo consigliatomi per risolvere questo tipo di esercizio, mi hai aiutata molto!