Curve e centro

Messaggioda rocco.g » 13/04/2004, 10:19

ciao,
mi ero messo a risolvere un esercizio di questo tipo :

ridurre a forma canonica l'equazione della conica del piano z=0,
xy+2x-y-3=0

per farlo l'esercizio suggeriva di trovare prima il centro di tale curva. Il problema è che non capisco come si faccia a trovare il centro di curve che non siano circonferenze o sfere...
Une volta trovato il centro l'esercizio diventava banale, dato che bastava effetuare la traslazione e trovarne gli autovalori... ma il problema era trovarne il centro...

p.s. forse la domanda può essere banale...ma io non riesco ad arrivarci...
rocco.g
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Messaggioda MaMo » 13/04/2004, 12:31

Scriviamo l'equazione della conica nel seguente modo:
y = (2x - 3)/(1 - x)
La funzione ottenuta è detta omografica e rappresenta un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani.
Le equazioni degli asintoti sono x = 1 (verticale) e y = - 2(orizzontale) per cui il centro della conica è il punto (1 ; - 2).
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Messaggioda Spazio Sghembo » 13/04/2004, 13:43

Ineccepibile...

Quindi con centro di una curva intendiamo il suo centro di simmetria? E' questa la definizione corretta?
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Messaggioda rocco.g » 13/04/2004, 14:34

come si trovano gli asintoti ?
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Messaggioda fireball » 13/04/2004, 14:48

In una iperbole del tipo:

y = (ax + b) / (cx + d)

l'asintoto verticale si trova ponendo il denominatore uguale a zero,
quindi x = -d/c ; quello orizzontale è y = a/c .
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Messaggioda karl » 13/04/2004, 16:04

Le risposte al quesito sono relative alla particolare
curva proposta.Procedimenti piu' generali sono i seguenti:
<b>1) Centro.</b>
Detta F(x,y)=0 l'equazione della conica,il centro
si ottiene risolvendo il sistema:
[Fx=0,Fy=0] essendo Fx ed Fy le derivate parziali
di F(x,y) rispetto ad x e ad y.
Per es,nel caso proposto,risulta:
F(x,y)=xy+2x-y-3,Fx=y+2,Fy=x-1
Il sistema e' dunque:[x-1=0,y+2=0]--->centro=(1,-2)
<b>1)Asintoti</b>
Gli asintoti (esistenti solo per l'iperbole) sono
le tangenti alla conica nei suoi punti impropri
ovvero nelle sue intersezioni con la retta impropria
del piano della conica.
Equazione tangente:
x*Fx+y*Fy+t*Ft=0
[dove x,y,t sono le coordinate omogenee del piano della conica
e Fx,Fy,Ft sono le derivate parziali di F(x,y,t)]
Per es.,nel caso nostro si ha:
Scriviamo l'equazione della conica in forma omogenea
sostituendo ad x e ad y , x/t e y/t rispettivamente
(x/t)(y/t)+2(x/t)-(y/t)-3=0
ovvero:
xy+2xt-yt-3t^2=0
Per t=0
si ha xy=0 da cui [x=0 ,y qualunque,t=0] e [x qualunque,y=0,t=0].
I punti impropri sono allora:X(1,0,0) e Y(0,1,0)
Fx=y+2t,Fy=x-t,Ft=2x-y-6t
a)Nel punto X tali derivate sono Fx=0,Fy=1,Ft=2
La relativa tangente e' allora:
y+2t=0 e ritornando a coordinate non omogenee
y+2=0
b)Nel punto Y tali derivate sono Fx=1,Fy=0,Ft=-1
La relativa tangente e' allora:
x-t=0 e ritornando a coordinate non omogenee
x-1=0.
E' chiaro il procedimento generale e' utile nei casi
in cui l'iperbole non e' di tipo semplice come nello
esercizio proposto.
karl.
P.S.
Per ulteriori notizie si puo' vedere il post "coniche" di
"gandalph2004" del "04/01/04" dove ho indicato altri particolari.







Modificato da - karl il 13/04/2004 16:06:00
karl
 

Messaggioda rocco.g » 13/04/2004, 23:26

grazie karl mi è tutto chiaro adesso !!!
rocco.g
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