Generiche rette

[tommyamico96]

Buongiorno a tutti. Ho cercato nel forum questo tipo di esercizio ma non ho trovato nulla quindi posto qui la mia domanda. In un esercizio mi vengono date due rette , r ed s, e mi si chiede la generica retta passante per entrambe. Per prima cosa ho visto le posizioni delle due rette, che sono sghembe. Poi ho messo le rette in forma parametrica e a questo punto ho scritto la formula della retta parametrica passante per due punti, prendendo un punto di r e uno di s (dalla forma parametrica). Il problema è che mi esce una cosa senza senso, perchè in entrambe le rette y e z sono nulli e questo mi annulla i parametri direttori della mia retta generica. Posto qui le rette r:{x=-y-1 ; z=y} s:{x-1=0 ; y-2z=0}. Grazie in anticipo per le risposte, questi esercizi sulle rette generiche sono quelli che mi creano più problemi.
Tommaso

[anto_zoolander]

Ciao e benvenuto!

Il procedimento per il calcolo di questa retta è abbastanza standard.
Bisogna trovare l’unico vettore ortogonale alle due rette ed in $RR^3$ è abbastanza standard
Si potrebbe pensare di usare il prodotto vettoriale tra i vettori direttori e di fatto il vettore sarà quello, ma rimarrebbe il problema di trovare il punto di applicazione

un metodo abbastanza carino è il seguente, ti do l’idea e poi cerchi di applicarlo tu.
Prendi le rette in forma di ‘sottospazio affine’ ossia

$r:P+<v>$ e $s:Q+<w>$

Cominci prendendo due punti $N in r$ e $M in s$ ottenendo quindi

$PN=av$ e $QM=bw$

Chiaramente non abbiamo ancora imposto alcuna condizione su $N,M$ se non che scegliamo di porre la condizione che il vettore $NM$ sia ortogonale alle rette $r,s$ e quindi ci chiediamo per quali $N in r, M in s$ si abbia

${(NM*v=0),(NM*w=0):}$

A questo punto consideriamo che

$NM=NP+PM=QM-PN+PQ=bw-av+PQ$

Sostituendo nel sistema precedente quindi

${(b(w*v)-a(v*v)=QP*v),(b(w,w)-a(w*v)=QP*w):}$

Quindi posto

$A=[(w*v,-v*v),(w*w,-w*v)]$

Il suo determinante sarà $|A|=||w||^2*||v||^2-(w*v)^2$ ricordando che per Cauchy si ha $|w*v|leq||w||*||v||$ e l’uguaglianza di ha se e solo se $v,w$ sono paralleli possiamo dedurre che(non essendo paralleli in quanto le rette sono sghembe) il determinante è strettamente maggiore di $0$ e quindi per cramer quel sistema ammette un’unica coppia $(a,b)$ che soddisfa il sistema ovvero i punti $N,M$ non solo esistono ma sono anche unici e ricavando il sistema ottieni quanto cercato.