Dubbio riguardo definizione

[luca66]

Buonasera ragazzi vi scrivo in quanto ho un dubbio riguardo una definizione.

Dato un endomorfismo \(\displaystyle f: V \rightarrow V \) , \(\displaystyle V_\lambda \) è il sottospazio di \(\displaystyle V \) costituito da tutti gli autovettori relativi a \(\displaystyle \lambda \). E quindi giustamente la sua definizione rigorosa è \(\displaystyle ker(f-\lambda*id_V) \) cioè \(\displaystyle V_\lambda=\{u\in V: f(u)=\lambda u\} \) ("u ovviamente è un vettore")

Non riscontro invece la stessa semplicità nella definizione dell'autospazio generalizzato, che è a sua volta così definito:
\(\displaystyle \tilde{V_\lambda}=ker(f-\lambda*id_V)^{m_a(\lambda)} \) dove con \(\displaystyle m_a(\lambda) \) indico la molteplicità algebrica di \(\displaystyle \lambda \).

L'autospazio generalizzato dovrebbe essere lo spazio che contiene le stringhe relative a \(\displaystyle \lambda \), ma non capisco come questa definizione rispecchi questa "idea", magari è un semplice calcolo? Sono però bloccato quindi vi chiedo se potete spiegarmi questa cosuccia. Grazie!

[killing_buddha]

Come ben sai, ci sono delle situazioni in cui l'ordine di \(\lambda\) come radice del polinomio caratteristico \(p_f\) di \(f\) è maggiore della dimensione di \(V_\lambda\); per ovviare a questo problema si introduce la nozione di polinomio minimo di \(f\), \(m_f\), definito come il generatore monico del nucleo della mappa \(\Phi_f : K[T] \to End(V)\) che manda \(f\) in \(p_f(f) = \sum_{k=0}^d a_i f^i\) (il teorema di Hamilton-Cayley afferma che \(p_f\) appartiene a \(\ker \Phi_f\), ovvero che \(m_f \mid p_f\)).

A questo punto devi osservare due cose:

1. Esiste la catena di inclusioni \(\ker g \subseteq \ker g^2 \subseteq \ker g^3\subseteq\cdots\)
2. Esiste un teorema che dice che

Applicando questo risultato teorema al polinomio caratteristico otteniamo che se \(p_f(X) = \prod_i p_i(X)\) è una sua fattorizzazione in fattori a due a due coprimi (quindi la sua fattorizzazione canonica che mette in luce gli autovalori), allora il dominio \(V\) dell'endomorfismo \(f\) è la somma diretta dei sottospazi \(V_{p_i} = \ker p_i(f)\), ciascuno dei quali ha dimensione \(\deg p_i(X)\) pari al grado (come polinomio in \(X\)) del fattore p_i(X). In particolare, per ogni autovalore \(\lambda\) di molteplicità \(m_\lambda\) si deduce che esso compare nel polinomio minimo con un esponente \(\ell\) che è il minimo intero positivo per cui \(\dim \ker(f − \lambda \cdot 1_V )^l = m\) (al massimo è proprio m).

[killing_buddha]

Venendo, ora, a ciò che hai scritto tu,

quindi giustamente la sua definizione rigorosa è \(\displaystyle ker(f-\lambda*id_V) \) cioè \(\displaystyle V_\lambda=\{u\in V: f(u)=u\} \)

Forse volevi scrivere \( V_\lambda=\{u\in V: f(u)=\lambda u\} \).

L'autospazio generalizzato dovrebbe essere lo spazio che contiene le stringhe relative a \(\displaystyle \lambda \)

Cosa sono le "stringhe relative a $\lambda$"?

[luca66]

Per quanto riguarda la definizione di autospazio ho corretto, errore di battitura scusatemi.

Per quanto riguarda la stringa. Dato \(\displaystyle f:V \rightarrow V \) operatore lineare e \(\displaystyle S=\{b_1,...,b_p\} \) è un sistema di \(\displaystyle p \) vettori di \(\displaystyle V \), allora \(\displaystyle S \) si dice che è una \(\displaystyle \lambda-stringa \) di lunghezza \(\displaystyle p \) per \(\displaystyle f \) se \(\displaystyle b_1 \neq 0 \) ed inoltre:
\(\displaystyle f(b_p)= \lambda b_p + b_{p-1} \)
\(\displaystyle f(b_{p-1}) = \lambda b_{p-1} + b_{p-2}
\)
...
\(\displaystyle f(b_2)= \lambda b_2 +b_1 \)
\(\displaystyle f(b_1)= \lambda b_1 \)


Quindi la nozione di blocco di Jordan corrisponde a quella di stringa ovviamente.