Esercizio sul prodotto scalare di due vettori

[ridley]

Ciao, abbiamo svolto questo esercizio durante l'esercitazione di Geometria e Algebra Lineare. Ciononostante non riesco a capire l'ultima parte dell'esercizio.

Abbiamo 2 punti, A e B.

A = (1,3)
B = (2,1)

L'esercizio chiede di stabilire se esiste un punto P tale che il modulo del "suo vettore" sia 4 e l'angolo APB sia di 90 gradi.
Il nostro professore ha quindi deciso di mettere a sistema le seguenti equazioni:

Avendo P = (x,y)

Sistema:
- ||P|| = 4 -> x ^ 2 + y ^ 2 = 16

- <A - P, B - P> = 0 -> < (1 - x, 3 - y), (2 - x, 1 - y) > = 0

Il prodotto scalare tra i vettori (A - P) e (B - P) deve essere zero poiché il coseno dell'angolo 90 è uguale a 0.
A questo punto non basterebbe verificare se il sistema ha soluzioni o no? Forse con l'algoritmo di Gauss?

Il professore poi ha visto che il prodotto scalare è l'equazione di una circonferenza di centro C(3/2, 2) e raggio sqrt(5)/2.
Non mi è chiaro come la circonferenza ci possa servire a stabilire l'esistenza del punto P. Che significato hanno i punti della circonferenza in questo caso?

Infine abbiamo scritto questa disequazione.

||P|| <= ||C|| + ||P - C||

||P|| <= ||C|| + sqrt(5)/2

*||P - C|| è la distanza da P dal centro, ovvero il raggio.

La risposta al quesito iniziale è NO.


*******
Chiedo scusa per eventuali errori grammaticali, non sono madrelingua italiana, e per il non utilizzo degli strumenti formattazione di simboli matematici, questo è il mio primo post.

[ridley]

Grazie mille per la tua risposta.