Ciao a tutti
rieccomi con due nuovi esercizi
testo 1
sia T la $RR^3$ $->$ $RR^4$ definita da T $((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))$=$((2k x_1-x_3 ),( x_2+kx_3) , (x_1+x_2-x_3) ,( x_1-x_2)) $
Trovare le dim del nucleo e dell' immagine al variare del parametro reale k
stabilire per quali valori di k il vettore v=(3,3,10) appartiene all'immagine di T
soluzione
la matrice associata è (rispetto alla base canonica)
A= $((2k,-1,0),(0,1,k),(1,1,-1),(1,-1,0))$
per rispondere alla prima domanda calcolo il rango di A
facendo l'eliminazione di Gauss ottengo (considero la matrice completa per accelerare i conti)
A= $((2k,-1,0),(0,1,k),(1,1,-1),(1,-1,0))$ $->$ $((1,-1,0,0),(0,2,-1,1),(0,0,2k+1,5),(0,0,2k-1,-2k+7))$ mi fermo qui con la riduzione
so che2k+1 e 2k-1 non possono essere contemporaneamente nulli quindi il rango di A è 3
di conseguenza la $dim(Im(T))$=rg(A)=3 $dim(Ker(T))$=n-$(dim(Im(T))$=3-3=0 per ogni k appartenente ai reali
Per la seconda domanda calcolo il determinante della matrice ridotta(considero la matrice completa per accelerare i conti)
det A= $((1,-1,0,0),(0,2,-1,1),(0,0,2k+1,5),(0,0,2k-1,-2k+7))$=2($4k^2 +2k +12 $)
il det si annulla per k=-3 e K=4
devo stabilire quando il sistema$\{(x - y = 3),(2y - z = 3),((2k+1)z =10):}$ cioè per k=-3 e K=4
e' giusto..........?
Magma l'ho modificato spero che sia giusto scritto così.....!!!!
ma è corretto?????