Ciao, ho provato a fare una semplice verifica di sottospazio vettoriale ma non so se il mio ragionamento sia giusto.
Dato lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado $ <=2 $ il cui generico elemento è indicato come $ p(x) $ determinare se i polinomi che soddisfano la seguente condizione sono un sottospazio vettoriale:
Condizione: $ p(x) + p(-x) = 0 $
1) Esistenza dell'elemento neutro: Il sottoinsieme ammette l' elemento neutro 0 (polinomio nullo) poiché $ p(0) $ con termine noto 0 soddisfa la condizione.
2) Chiuso rispetto al prodotto per scalare: con $ lambda in R $ si ha che $ lambda*p(x)= lambda*-p(-x) -> p(x) = -p(-x) $
3) Chiuso rispetto alla somma: con $ lambda ,mu in R $ e 2 generici polinomi $ p(x), p(tilde(x)) $ appartenenti all'insieme abbiamo
$ lambda*p(x) + mu*p(tilde(x)) = lambda*-p(-x) + mu*-p(tilde(x)) $ e quindi soddisfa la condizione.
Questo ragionamento è giusto?