esercizio su spazio quoziente

[sira]

Buona sera! Chiedo a voi un parere su questo esercizio
1) Sia $X$ uno spazio topologico e $ ~= $ una relazione d'equivalenza su $X$. Dimostrare che se il quoziente $ X//~= $ è uno spazio di Hausdorff, allora ogni classe d'equivalenza è un sottoinsieme chiuso di $X$.
2) Sia $X=RR$ e definiamo una relazione di equivalenza su $X$ come segue
$ x\~=y \Leftrightarrow { ( x=y\ oppure ),( |x|<1 \e\ |y|<1 ):} $
Dimostrare che lo spazio quoziente $ X//~= $ non è di Hausdorff
1) Sia $ X//~= $ di Hausdorff. Dalla caratterizzazione degli spazi $T_1$ ogni punto $x in X//~= $ è chiuso. Ricordiamo che, per definizione, lo spazio quoziente è definito come l'insieme delle classi di equivalenza di $X$, e $ pi: X rarr X//~= $ è continua e suriettiva. Allora $ [x] $ è chiuso in $ X//~= rarr pi^-1 ([x]) $ è chiuso in $X$ (inoltre $pi$ è un'applicazione chiusa) $rarr$ ogni classe di equivalenza è un sottoinsieme chiuso di $X$
2)Supponiamo per assurdo che $ X//~= $ sia di Hausdorff. Le classi di equivalenza di $X$ sono: $x$ o $x in (-1,1)$.
Dal punto 1) ogni classe di equivalenza è un sottoinsieme chiuso di $X$. Ma $X=RR$ e $(-1,1)$ è aperto in $RR rarr$ contraddizione , $ X//~= $ non è di Hausdorff

[j18eos]

Esecuzione perfetta!

...e prova a collassare \(\displaystyle\mathbb{R}\) su un insieme chiuso, tipo \(\displaystyle[-1,1]\).

[sira]

Grazie per la risposta!
Con collassare intendi ''mandare'' $ RR $ in $ [-1,1]$ in modo che la classe di equivalenza sia $ x in [-1,1]$?In questo caso la classe di equivalenza sarebbe di Hausdorff (perché è un sottoinsieme chiuso di $ RR $, ma è di Hausdorff anche perché è metrizzabile)
Se ho interpretato male il termine ''collassare'' mi scuso in anticipo e ti chiedo di dirmi come interpretarlo

[otta96]

Di sicuro intende che (sennò al limite mi corregge) fai il quoziente per la relazione di equivalenza che ha come classi $[-1,1]$ e ${x}$ se $|x|>1$.

[j18eos]

@otta86 Esatto!

@sira provaci; e stai attenta che il primo esercizio ti permette di affermare che lo spazio quoziente che ti ho proposto è (almeno) \(\displaystyle T_1\).

[sira]

Grazie per la risposta!
E quindi non è come avevo scritto? Cioè, ogni classe di equivalenza è un sottoinsieme chiuso di $RR$, quindi ogni punto $x in X// ~= $ è chiuso $ rarr $ è $T_1$, e dal punto 1 dell'esercizio è anche $T_2$
(inoltre $[-1,1]$ è pure metrizzabile quindi è di Hausdorff)

[j18eos]

Io ti ho proposto di studiare lo spazio \(\displaystyle X=\mathbb{R}_{\displaystyle/\sim}\) con
\[
x,y\in\mathbb{R},\,x\sim y\iff\begin{cases}
x=y\\
\text{oppure}\\
x,y\in[-1,1]
\end{cases},
\]
\(\displaystyle\mathbb{R}\) dotato della topologia naturale ed \(\displaystyle X\) della relativa topologia quoziente.

Mi stai dicendo che \(\displaystyle X\) è omeomorfo a \(\displaystyle[-1,1]\)? Falso: \(\displaystyle X\) non è compatto a differenza di \(\displaystyle[-1,1]\) (esercizio facoltativo), e lo puoi capire facendo un disegno!

Utilizzando la tecnica dell'esercizio 1, ottieni che i punti di \(\displaystyle X\) sono chiusi e per ciò \(\displaystyle X\) è uno spazio \(\displaystyle T_1\). Ma al momento chi ti dice che \(\displaystyle X\) sia \(\displaystyle T_2\), ovvero soddisfi le assunzioni dell'esercizio 1?

[sira]

Grazie per la risposta!
$ RR $ e $ [-1,1] $ non sono omeomorfi perché il primo non è né chiuso, né limitato mentre, il secondo è chiuso e limitato in $ RR $ (questo sfruttando Heine-Borel)
Hai ragione, non è necessariamente di Hausdorff ( non c'è un'implicazione doppia), quindi secondo il mio esercizio poiché $ {x} $ e $[-1,1]$ sono chiusi di $ RR $ ogni punto $ x $ o ogni punto di $ [-1,1] $ è chiuso $ rarr $ è $ T_1 $
Il dubbio che ancora ho è questo
$ [-1, 1] $ non è metrizzabile? E se così fosse non ho dimostrato che è di Hausdorff?

[j18eos]

@sira ...ma che esercizio stai svolgendo?

Tu devi ragionare sui punti di \(\displaystyle X\) non sui punti di \(\displaystyle[-1,1]\) o di \(\displaystyle\mathbb{R}\)!!!

La domanda è sempre quella: \(\displaystyle X\) è di Hausdorff?
E il suggerimento è sempre lo stesso: utilizzando la tecnica dell'esercizio 1, riesci a dimostrare che \(\displaystyle X\) è di Fréchet!

[sira]

Se ragiono su $ X $ non ho elementi sufficienti per dire che è Hausdorff. Solo $ T_1 $ (quello che ho scritto nel post precedente per dimostrare che è $ T_1 $ è giusto? )