esercizio su spazio quoziente

[j18eos]

Io ho solo letto argomentazioni corrette su \(\displaystyle[-1,1]\), non su \(\displaystyle X\)...

[sira]

Grazie per avermi risposto e per la pazienza!
Forse la cosa che stai cercando di farmi capire è questa (correggimi se sbaglio )
se $ X//~= $ è di Hausdorff e $pi $ è un'applicazione chiusa, allora $ X $ dovrebbe essere compatto. Ma $ X = RR $, quindi non è compatto perché non è limitato $ rarr X//~= $ non è di Hausdorff

[j18eos]

Cara sira,

se io ho fissato \(\displaystyle X=\mathbb{R}_{\displaystyle/\sim}\) con \(\displaystyle\sim\) la relazione di equivalenza precedentemente definita, e di conseguenza resta definita l'applicazione (continua) \(\displaystyle\pi:\mathbb{R}\to X\): perché tu ragioni senza specificare che continui ad usare le tue di notazioni?

[sira]

Per non aver specificato le notazioni mi scuso, mi sono un pò fissata con le mie! Forse ho creato un pò di confusione! Ma è ancora sbagliato quello che ho scritto?

[j18eos]

Non lo so a questo punto...

Come dimostri che \(\displaystyle X=\mathbb{R}_{\displaystyle/\sim}\) è di Hausdorff?
Inizia a dimostrare che i suoi punti sono chiusi!

[sira]

La relazione di equivalenza su $ RR $ è definita da ${x} $ oppure da $ x in [ - 1, 1 ] $.
Se $ x in [ - 1, 1 ] $ allora ogni punto $ pi^(-1)([x]) $ un sottoinsieme chiuso di $ RR$, ed inoltre, essendo $[-1,1]$ di Hausdorff (perché metrizzabile) allora $ pi^(-1)([x]) $ è un sottoinsieme chiuso di $ RR $.
Se consideriamo ${x} $, poiché è un punto di $ RR$, ed essendo ogni singoletto un chiuso in $ RR $ , allora $ pi^(-1)([x])$ è un sottoinsieme chiuso di $ RR $.
Per rispondere alla tua domanda, per dimostrare che i punti di $ X $ sono chiusi, direi (non so se è giusto) che sono contenuti in un sottoinsieme chiuso di $ RR $ , quindi ognuno di essi è chiuso
Se tutto ciò non va bene, potresti gentilmente darmi l'idea della dimostrazione giusta?

[j18eos]

Non ci siamo, ma non perché non ci siamo capiti, ma perché se \(\displaystyle x\in[-1,1]\) allora \(\displaystyle\pi^{-1}([x])=[-1,1]\) che è chiuso di suo (che c'entrano le sue altre proprietà topologiche?); perché identifichi tutti i punti di \(\displaystyle[-1,1]\) tra di loro...

Ti è chiaro?

Aggiustato questo dettaglio, hai che \(\displaystyle X\) è di Fréchet! Come dimostri che è di Hausdorff?

[sira]

Grazie per la risposta!
Io l'ho pensato così (eventualmente se non è corretto dammi la soluzione esatta)
Se $ X $ è di Frechet ogni sottoinsieme finito di $ X $ è chiuso. Ci chiediamo se in $ X $ ci siano due insiemi la cui intersezione sia vuoto. Consideriamo un intorno di $-1$ e un intorno di $ 1$. Ad esempio essi sono $[-1,1/2) $ e $ (1/2,1] $. Poiché sono disgiunti allora $X $ è di Hausdorff. ( gli insiemi di $ X $ sono solo $[-1,1] $ e quindi anche i suoi sottoinsiemi e gli ${x} in RR $, giusto? )
(Se così non fosse non so come si fa)

[j18eos]

Scusa, ma ti è chiaro che \(\displaystyle\forall x,y\in[-1,1]\) allora \(\displaystyle[x]=[y]\in X\)?

[sira]

e quindi non è di Hausdorff ?!