esercizio su spazio quoziente

[j18eos]

@sira ma ci sei?

Dico sul serio: ma ti è chiaro la nozione di "relazione di equivalenza"?

Prova prendere un filo, se identifichi gli estremi di esso (ovvero li congiungi) ottieni (a meno di omeomorfismi) una circonferenza: ti sembra?

Se prendi un foglio di carta e identifichi i lati opposti (senza torsioni) ottieni un toro (o ciambella a meno di omeomorfismo): riesci a immaginarlo?

...e credimi che entrambi sono spazi di Hausdorff compatti, con la topologia indotta da quella naturale di \(\displaystyle\mathbb{R}^3\)!

Se io ti scrivo:
\[
x,y\in\mathbb{R},\,x\sim y\iff\begin{cases}
x=y\\
\text{oppure}\\
x,y\in[-1,1]
\end{cases}
\]
quali sono i punti che ho identificato a meno della relazione di equivalenza (esercizio) \(\displaystyle\sim\)?

[sira]

Dico la verità! Questo esempio mi ha confuso!
I due esempi che hai fatto si, li ho capiti!
I punti identificati dalla relazione di equivalenza sono: i punti ${x} $ con $ x in RR $ oppure $ x in [ - 1, 1 ] $
Quindi se $[x]=[y] $ allora $ x~=y $ e quindi appartengono allo stesso intorno dunque non sono di Hausdorff

[j18eos]

Bene: ti è chiaro che i punti di \(\displaystyle[-1,1]\) sono tutti identificati tra di loro, mentre ogni punto di \(\displaystyle]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[\) è identificato solo con sé stesso, nello spazio quoziente \(\displaystyle X\)?

[sira]

Sì, ora ci sono arrivata finalmente! (Fin'ora non riuscivo a capire questa cosa perché ragionavo solo su $ [-1,1] $ come penso che tu avevi capito!)

[j18eos]

Speriamo...

Quindi ogni punto di \(\displaystyle X\), mediante la mappa canonica \(\displaystyle\pi:\mathbb{R}\to X\), si dimostra essere un insieme chiuso.

Ora come dimostri che \(\displaystyle X\) è di Hausdorff?

[sira]

Ogni punto di $ X $ è chiuso (è sicuro $ T_1 $). Ma siccome $ [x] =[ y ] $ , allora $ x $ è $ y $ rappresentano la stessa classe di equivalenza. Non siamo riusciti però a trovare due intorni disgiunti di $ x $ è $ y $ (non c'è nulla che ce lo assicuri) quindi non è di Hausdorff.

[j18eos]

T'ho già fatto degli esempi di spazi quoziente di Hausdorff (compatti); il tuo ragionamento è errato!

Se prendi una classe di equivalenza \(\displaystyle[x]\in X\) e \(\displaystyle y\in\mathbb{R}\) tale che \(\displaystyle[x]=[y]\), è ovvio che che il punto \(\displaystyle[x]=[y]\) non ha intorni disgiunti da sé stesso!

La domanda è: dati \(\displaystyle[x]\neq[y]\in X\): questi sono separabili alla Hausdorff?

[sira]

Sì, perché se le classi di equivalenza sono diverse allora esiste almeno un intorno di $ x$ e uno di $ y$ che sono disgiunti

[j18eos]

Sì, ma per quale proprietà di \(\displaystyle\mathbb{R}\)?

Ti ricordo che \(\displaystyle\pi^{-1}([0])=[-1,1]\)...

[sira]

Su $ RR\\[-1,1] $ ?