Esercizio su basi e sottospazi vettoriali

[anto_zoolander]

Buonasera a tutti,
chiedo aiuto nella risoluzione di un esercizio su basi e sottospazi vettoriali. Nello specifico, assegnato il seguente sottospazio vettoriale:

$U = { (x, y, z, t) ∈ R^4: x − 5y = 0, z − 3t = 0 }$

mi viene richiesto di:

- Calcolare una base $B$ e la dimensione del sottospazio $U$;
- Determinare se $exists$ due basi $B_1$ e $B_2$ di $R^4$ contenenti $B$;
- Determinare se $exists$ un sottospazio $W$ supplementare di $U$;

Ho calcolato la base $B$ risolvendo il sistema ${(x = 5y),(z = 3t):}$ con $y = a in R$ e $t = b in R$, ottenendo $B = a(5,1,0,0) + b(0,0,3,1)$. Da ciò è immediato determinare la dimensione, pari alla cardinalità della base, ossia $2$. Non so però come continuare.

[anto_zoolander]

Ciao e benvenuto*!

ho corretto il testo, formattando la parte matematica. Ti invito a consultare il manuale sulle formule

il primo punto è corretto, ho solo una precisazione da fare: la base è un insieme di vettori con una certa proprietà(generare lo spazio, essere linearmente indipendenti), quindi si scrive come

$B={(5,1,0,0),(0,0,3,1)}$(li chiamo, in ordine, $v_1,v_2$)

il che significa che $<v_1,v_2> = U$ e $v_1,v_2$ sono linearmente indipendenti.

passiamo al secondo punto. Determinare una base $B'$ di $RR^4$ che contenga $B$ significa completare la base di $U$ ad una base di $RR^4$, ossia trovare una base di $RR^4$ in cui siano presenti i vettori $v_1,v_2$.

per esempio se in $RR^3$ avessi lo spazio vettoriale che ha per base $B={(1,0,0),(0,1,0)}$ possiamo considerare la base $B'={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ che è una base di $RR^3$ contente la base $B$.

[MikeRed]

Ciao! Ti ringrazio per la tempestività e la gentilezza. Se ho compreso, in sostanza mi basta aggiungere a $B$ due vettori della base canonica di $R^4$ indipendenti da $v_1$ e $v_2$. Giusto?

[anto_zoolander]

Non proprio.
Devi aggiungere due vettori, non per forza della base canonica di $RR^4$ il mio era un esempio, ma potrebbero anche andar bene, per cui il sistema di quattro vettori risulti una base di $RR^4$.

in questo caso ti basta aggiungere due vettori $v_3,v_4$ di $RR^4$ tali che $v_1,v_2,v_3,v_4$ siano linearmente indipendenti. Perché genererebbe un sottospazio di $RR^4$ della sua stessa dimensione e quindi dovranno coincidere

[MikeRed]

A questo punto mi domando se esista una procedura per completare una base o se bisogna procedere a tentativi.
Inoltre, determinate due basi $B_1$ e $B_2$, il sottospazio supplementare $W$ è quello generato dalla coppia di vettori $v_3$ e $v_4$ che completa $B$, giusto?

[MikeRed]

Ho provato a procedere in questo modo, spero sia corretto:

Ho considerato la base $B$ del sottospazio $U$ e due vettori della base canonica per $R^4$, rispettivamente $v_3 = (1,0,0,0)$ e $v_4 = (0,0,0,1)$. Poi ho verificato che i vettori della base $B$ e $v_3$ e $v_4$ fossero indipendenti. Dunque la base $B_1 = {(5,1,0,0), (0,0,3,1), (1,0,0,0), (0,0,0,1)}$ per $R^4$ contiene $B$. Di conseguenza, il sottospazio $W = {(1,0,0,0), (0,0,0,1)}$ si può dire supplementare di $U$.
Spero di non aver commesso errori!

[anto_zoolander]

Ciao!

Hai hai fatto la combinazione lineare per verificare che siano l.i. ?

[MikeRed]

Si! Ho risolto il seguente sistema:

$\{(5a + c = 0),(a = 0),(3b = 0),(b+d = 0):}$

avente come soluzioni $a = 0, b = 0, c = 0, d = 0$. Pertanto l'indipendenza lineare è verificata.

[anto_zoolander]

Bravissimo.
Questo significa ‘completare a base’ di uno spazio vettoriale.

In genere c’è un piccolo trucchetto per trovare una base, però prima ho preferito che ti industriassi un pochino.
Quando hai uno spazio vettoriale $V$(di dimensione finita), un sottospazio $WleqV$ è una base $B_W={w_1,...,w_m}$ per completarla ad una base di $V$ puoi usare questo trucchetto:

Prendi una base di $V$, chiamata $B_V={v_1,...,v_n}$, se sei su $RR^n$ puoi prendere quella canonica per comodità e consideri

$B=B_VcupB_W={w_1,...,w_m,v_1,...,v_n}$

Essendo $m+n>n$ quei vettori saranno linearmente dipendenti: in particolare almeno un $v_j$ si scriverà come combinazione lineare di tutti gli altri vettori, quindi lo escludi. Iterando il procedimento è scartando di volta in volta un vettore della base di $V$ otterrai un di $m+(n-m)$ vettori e quindi una base.

L'ipotesi forte è che $<w_1,...,w_m,v_1,....v_n>$ generano lo spazio $V$ quindi dopo aver scartato tot $v_j$ non appena arrivi a $n$ vettori non potrai scartarne più perché altrimenti non genererebbero lo spazio.

Lo stesso ragionamento puoi farlo aggiungendo di volta in volta un vettore della base di $V$ e verificando se sono linearmente indipendenti. Ci sono molto modi, come avrai capito.

[MikeRed]

Innanzitutto grazie per il tuo tempo!

Se ho ben capito, considerando una base $B_U$ di un sottospazio $U_2$ di $R^4$ e aggiungendo ad essa la base canonica $B_R$ per $R^4$, ottengo una base $B_1$ per cui $dim(B_1) = dim(B_U) + dim(B_R) = 6$. Dovendo ottenere una base $B$ di dimensione $4$, dovrò scartare da $B_1$ due vettori, dei quali almeno uno sarà dipendente.

Spero di non aver fatto confusione!