Dubbio su algebra lineare

[anto_zoolander]

@magma

Questo l'ho capito, più che altro contestavo l'affermazione dell'altro utente, visto che i vettori di un insieme di generatori possono anche essere linearmente dipendenti (ciò escluderebbe soltanto che si tratta di una base)... hoanche mostrato un esempio a riguardo.

Riguardo al discorso iniziale, un modo per capire se un insieme di vettori è un sistema di generatori di un sottospazio definito da un equazione (come l'esercizio del link che ho postato a inizio discussione) l'ho trovato.

[Magma]

Riguardo al discorso iniziale, un modo per capire se un insieme di vettori è un sistema di generatori di un sottospazio definito da un equazione (come l'esercizio del link che ho postato a inizio discussione) l'ho trovato.

La domanda da me quotata era più generale Così sei sceso nel particolare e immagino che la risposta da te trovata sia quella di risolvere il sistema lineare omogeneo

[Daken97]

Riguardo al discorso iniziale, un modo per capire se un insieme di vettori è un sistema di generatori di un sottospazio definito da un equazione (come l'esercizio del link che ho postato a inizio discussione) l'ho trovato.

La domanda da me quotata era più generale Così sei sceso nel particolare e immagino che la risposta da te trovata sia quella di risolvere il sistema lineare omogeneo

Dunque, se devo verificare che un insieme di vettori è un sistema di generatori per Rn (R2,R3, ecc.), associo a tale sistema una matrice e vedo se il rango è massimo... invece se devo effettuare una verifica su un sottospazio definito da un' equazione, diciamo che ricorro a un sistema piuttosto laborioso (se sei curioso posto l'esempio), che però consiste sostanzialmente in quello che hai detto.

[anto_zoolander]

Considera che preso un $K-$spazio vettoriale $V$ e una matrice $A in K^(mtimesn)$ un sistema omogeneo di $M$ equazioni in $n$ incognite è equivalente a $A*X=0$. Preso un riferimento $B={v_1,...,v_n}$ di $V$ il 'sottospazio' definito da un sistema altro non è che

$W={v in V: A*C_B(v)=0}$

dove $C_B:V->K^n$ è l'isomorfismo delle coordinate

non è difficile mostrare che $W$ sia un sottospazio di $V$

E' chiaro che se ti spunta una cosa del tipo $A*X=0$ e ti devi uscire il sottospazio ti basta considerare che $X=C_B(v)$ quindi $v=C_B^(-1)(X)$ quindi in questo caso il sottospazio sarà semplicemente

$W={C_B^(-1)(X) in V: AX=0}$

il secondo è più utile ai fini pratici, non hai la rottura di doverti scrivere $v$ in coordinate generiche e poi ti trovi semplicemente $C_B^(-1)(X)$

quindi una matrice identifica un sottospazio vettoriale. Lo identifica univocamente? Ovvero possono esserci due sottospazi distinti individuati da una stessa matrice(un sistema)? no

qual è la sua dimensione? beh se consideri l'applicazione $L:V->K^n$ definita come $L(v)=A*C_B(v)$ è chiaramente una applicazione lineare che ha come nucleo $W$ quindi per la relazione dimensionale $dimV=dimW+dimL(V)$ da cui $dimW=n-dimL(V)$

considerando che $C_B(v_j)=E^j$ ossia $E^j=(0,...,1,...,0)$ dove l'$1$ è nella $j-$esima posizione e che $A*E^j$ coincide con $j-$esima colonna di $A$ allora $L(V)=<A^1,...,A^n>$ e quindi $dimL(V)=r(A)$ da cui il noto $dimW=n-r$

L'altra domanda può essere posta al contrario: ma se avessi un sottospazio vettoriale $W$ esiste una matrice tale per cui si abbia l'uguaglianza di cui sopra? Si e trovarla in particolare è facile, però il ragionamento generale è un po' noioso.

[anto_zoolander]

@anto_zoolander

Perfetto, diciamo che sei andato sul generale, ma la risposta che inizialmente attendevo è questa... riguardo al discorso delle basi e dei sistemi di generatori, è un fatto puramente logico: ad esempio il sistema {[1,0],[0,2],[6,6]} ha il terzo vettore che dipende linearmente dai primi 2, ma in realtà è proprio un sistema di generatori... casomai non è una base di R2.

[anto_zoolander]

E' vero che un sistema di generatori può tranquillamente non essere una base.
Quello che non si capisce è cosa tu voglia affermare

[Daken97]

E' vero che un sistema di generatori può tranquillamente non essere una base.
Quello che non si capisce è cosa tu voglia affermare

L'utente Bokonon ha affermato che i vettori di un insieme devono essere indipendenti per far sì che il sistema a cui appartengono sia un insieme di generatori.... io invece sostengo che quella condizione non è necessaria, perchè i vettori che fanno parte di un insieme di generatori possono anche essere linearmente dipendenti fra loro, e infatti ho considerato un esempio. Se invece dovessi stabilire che il sistema in questione è proprio una base, il discorso cambierebbe.

[Bokonon]

L'utente Bokonon ha affermato che i vettori di un insieme devono essere indipendenti per far sì che il sistema a cui appartengono sia un insieme di generatori

E lo confermo.
L'utente Bokonon ha risposto alla tua domanda
Rileggi cosa ho quotato nel post precedente.

.... io invece sostengo che quella condizione non è necessaria, perchè i vettori che fanno parte di un insieme di generatori possono anche essere linearmente dipendenti fra loro, e infatti ho considerato un esempio. Se invece dovessi stabilire che il sistema in questione è proprio una base, il discorso cambierebbe.

L'esempio che hai portato non aveva senso. Se ti danno 3 vettori di $R^2$ al minimo uno sarà combinazione lineare di altri 2. Quindi troverai o una base di tutto $R^2$, oppure una base per un sottospazio di $R^2$ di dimensione 1 (ovvero una retta). Non ci sono altre possibilità. Non esistono generatori "linearmente dipendenti".
Ripeto, se ti danno tre vettori di $R^2$ non saranno MAI linearmente indipendenti fra di loro e non sono "generatori" di un bel nulla. Secondo me non ti è chiaro il concetto di "generatore".

Proviamo con un esempio.
Un vettore (non nullo) di $R^3$ genera una retta.
Due vettori dipendenti di $R^3$ non generano "nulla" insieme, ognuno di essi genera la medesima retta.
Due vettori indipendenti di $R^3$ generano un piano.
Tre vettori indipendenti di $R^3$ generano tutto $R^3$.
4 vettori ignoti (ovvero di cui non conosci le dipendenze o meno) di $R^3$ non generano nulla: l'unica garanzia che hai è che almeno uno dipenderà dagli altri.

Ok?
Non ha senso parlare di n (grande a piacere) vettori appartenenti ad uno spazio di dimensione m<n come di generatori.

[Magma]

L'utente Bokonon ha affermato che i vettori di un insieme devono essere indipendenti per far sì che il sistema a cui appartengono sia un insieme di generatori

E lo confermo.
L'utente Bokonon ha risposto alla tua domanda
Rileggi cosa ho quotato nel post precedente.

.... io invece sostengo che quella condizione non è necessaria, perchè i vettori che fanno parte di un insieme di generatori possono anche essere linearmente dipendenti fra loro, e infatti ho considerato un esempio. Se invece dovessi stabilire che il sistema in questione è proprio una base, il discorso cambierebbe.

L'esempio che hai portato non aveva senso. Se ti danno 3 vettori di $R^2$ al minimo uno sarà combinazione lineare di altri 2. Quindi troverai o una base di tutto $R^2$, oppure una base per un sottospazio di $R^2$ di dimensione 1 (ovvero una retta). Non ci sono altre possibilità. Non esistono generatori "linearmente dipendenti".
Ripeto, se ti danno tre vettori di $R^2$ non saranno MAI linearmente indipendenti fra di loro e non sono "generatori" di un bel nulla. Secondo me non ti è chiaro il concetto di "generatore".

Il sesto senso di Daken97 ha avuto ragione... Fai pure finta che l'utente Bokonon non abbia scritto.

[Bokonon]

Il sesto senso di Daken97 ha avuto ragione... Fai pure finta che l'utente Bokonon non abbia scritto.

Ok, Magma adesso adesso ci illustra il concetto di insieme di generatori dipendenti.
Certo che sei tanto triste, te lo dico dal cuore.