sto cercando di migliorare in topologia algebrica: ho un problema con la formalizzazione quando calcolo il gruppo fondamentale di uno spazio topologico.
Il testo dell'esercizio è il seguente
Calcolare il gruppo fondamentale del complementare in $\mathbb{R^3}$ di $\{ (x, y, z) | y = 0, x^2 + z^2 = 1 \} \cup \{(x, y, z) | y = z = 0, x >= 1 \}$
Questo è il mio tentativo di soluzione: sia $X$ lo spazio dell'esercizio, consideriamo gli aperti $A = X - \{ (x, y, z) | y = 0, x^2 + z^2 <= 1 \}$ e $B$ l'aperto ottenuto facendo ruotare la palla aperta $\{(x, y, z) \in X | x^2 + z^2 < 1 \}$ attorno all'asse ${(x, y, z) | y = 0, x = -1 \}$. $A, B, A \cap B$ sono aperti connessi per archi ma la dimostrazione è un po' noiosa per cui la tralascio. Veniamo alla parte che per me è difficile: vedere le equivalenze omotopiche.
$C = S^2(0, 2) - {(2, 0, 0)}$1 è un retratto per deformazione di $A$ mediante la mappa $F: [0, 1] \times A \to A$ che manda $(t, x) \to (1-t)*x + 2*\frac{x}{\norm{x}}$, infatti $F(0, \cdot) = \mathbb{1}_A$, $F(1, \cdot) = \mathbb{1}_C$ e $F(t, x) = x \forall (t, x) \in [0, 1] \times C$ e dunque è semplicemente connesso: $S^2 - {p}$ è omeomorfo a $\mathbb{R^2}$.
$A \cap B$ invece è semplicemente connesso*.
Per van kampen otteniamo che per $x_0 \in A \cap B$ vale $\pi_1(X, x_0)$ \( \simeq \) $ \pi_1(B, x_0) = \mathbb{Z}$.
*Ecco per esempio non so come dimostrare che $A \cap B$ è semplicemente connesso, qualche idea?
Scusate le imprecisioni, anzi sarebbe fantastico se riusciste a dirmi quali sono e se il ragionamento fila.
Grazie a tutti, ciao!
- $S^2(0, 2)$ è la sfera di raggio $2$ e centro $0$ ↑