cilindro parabolico

[gloria99]

Buongiorno,
ho questo esercizio da svolgere:

In $A_3(C)$ si consideri la quadrica di equazione Q : $x^2 − 4xz + 2x + 4z + 1 = 0$.
• Si riconosca la quadrica Q precisando la natura dei suoi punti semplici.

Ho fatto la matrice di A e ho trovato che il rango di A vale 3.
Il deteterminante di $(A^*)$ $=$ $0$ quindi è un cilindro iperbolico.
La natura dei punti semplici è di tipo parabolico.

Detto questo non sono in grado di fare il secondo punto.
• Si riconosca la conica C sezione di Q con il piano $\alpha$ : y − 1 = 0.


Grazie

[Anacleto13]

Ciao Gloria,
Non ti basta che sezionare la quadrica con il piano, dato che nell'equazione della quadrica non compare la variabile $y$ non devi sostituire nessun valore del piano. (nel caso ci fosse qualche variabile y andando a sostituire la y scompare e di conseguenza nella matrice ottieni tutti 0).

La matrice associata alla quadrica è:

$\mathcal{q}=((1,0,-2,1),(0,0,0,0),(-2,0,0,2),(1,0,2,1))$

Sezionando con il piano (fondamentalmente ottieni una conica):

$\mathcal{c}=((1,-2,1),(-2,0,2),(1,2,1))$

Calcolando il determinante di $A^*$ ovvero gli elementi $a_{11},a_{12},a_{21},a_{21}$

$detA^*=-4<0\implies c$ iperbole

[gloria99]

Mi sfugge solo una cosa importante.
Come sei passato dalla matrice della quadrica alla matrice della conica?
Cioè in che modo utilizzo $y=1$?
Grazie mille

[Anacleto13]

Mi sfugge solo una cosa importante.
Come sei passato dalla matrice della quadrica alla matrice della conica?
Cioè in che modo utilizzo $y=1$?
Grazie mille

Te lo spiego con un esempio che risulta più semplice:
Quando sezioni una quadrica con un piano ottieni una conica, se nel tuo esempio l'equazione fosse $ x^2 +y^2− 4xz + 2x + 4z + 1 = 0 $(non lo è ovviamente è solo per capirci), in questo caso sostituivi $y=1$ e la variabile $y$ scompariva, in questo modo ottieni una conica (avendo solo 2 variabili hai una conica per definizione).

Spero di essere stato più chiaro con l'esempio.