matrice analisi e geometria 2

[Ghebbro]

salve a tutti;
avrei bisogno di aiuto per il punto C di questo teme d'esame, non riesco a capire la soluzione . Perché la matrice nel punto C è cosi? potreste spiegarmi i passaggi per arrivarci


grazie mille

[gugo82]

Non mi fiderei tanto di chi ha scritto le soluzioni... Probabilmente era in una sua giornata no, visto che in $Q$ mancano parecchi $2$.

Ad ogni buon conto, la matrice $A_k=Q$ che rappresenta $L_k$ rispetto alle basi $B=\{ mathbb(v)_1, mathbb(v)_2, mathbb(v)_3\}$ (nel dominio) e canonica (nel codominio) è:

$A_k=((2,0,k), (2,2,1-k), (2,2,1))$

la quale si costruisce mettendo in colonna le componenti rispetto alla base canonica (fissata nel codominio) dei vettori immagine di quelli della base $B$ (fissata nel dominio).
Il determinante di $A_k$ è $4k$, sicché $L_k$ è singolare solo per $k=0$, con dimensioni di nucleo ed immagine quelle riportate nella soluzione.

Per $k=0$ la matrice associata ad $L_0$ nelle basi $B$ e canonica è:

$A_0=((2,0,0),(2,2,1),(2,2,1))$;

ma non ci serve a nulla, visto che a noi serve la matrice $A$ associata alle basi $B$ e $B$.
Per determinare tale matrice basta sfruttare di nuovo le immagini dei vettori della base $B$, mettendo in colonna le loro componenti rispetto alla base $B$ (nuova base fissata nel codominio).
Dato che $L_0( mathbb(v)_1)=2 mathbb(v)_1$, risulta $L_0(mathbb(v)_1) = (2,0,0)_(B)$; analogamente $L_0(mathbb(v)_2) = (0,2,0)_(B)$. D’altra parte $L_0(mathbb(v)_3)=(0,1,1)=mathbb(v)_2=(0,1,0)_B$. Dunque:

$A=((2,0,0),(0,2,1),(0,0,0))$

è la matrice cercata.

[Ghebbro]

infatti, anche secondo me c'era qualche errore nel testo, perciò l'ho inserito tutto.
ti ringrazio moltissimo, ora ho capito!