da gugo82 » 11/01/2019, 12:42
Non mi fiderei tanto di chi ha scritto le soluzioni... Probabilmente era in una sua giornata no, visto che in $Q$ mancano parecchi $2$.
Ad ogni buon conto, la matrice $A_k=Q$ che rappresenta $L_k$ rispetto alle basi $B=\{ mathbb(v)_1, mathbb(v)_2, mathbb(v)_3\}$ (nel dominio) e canonica (nel codominio) è:
$A_k=((2,0,k), (2,2,1-k), (2,2,1))$
la quale si costruisce mettendo in colonna le componenti rispetto alla base canonica (fissata nel codominio) dei vettori immagine di quelli della base $B$ (fissata nel dominio).
Il determinante di $A_k$ è $4k$, sicché $L_k$ è singolare solo per $k=0$, con dimensioni di nucleo ed immagine quelle riportate nella soluzione.
Per $k=0$ la matrice associata ad $L_0$ nelle basi $B$ e canonica è:
$A_0=((2,0,0),(2,2,1),(2,2,1))$;
ma non ci serve a nulla, visto che a noi serve la matrice $A$ associata alle basi $B$ e $B$.
Per determinare tale matrice basta sfruttare di nuovo le immagini dei vettori della base $B$, mettendo in colonna le loro componenti rispetto alla base $B$ (nuova base fissata nel codominio).
Dato che $L_0( mathbb(v)_1)=2 mathbb(v)_1$, risulta $L_0(mathbb(v)_1) = (2,0,0)_(B)$; analogamente $L_0(mathbb(v)_2) = (0,2,0)_(B)$. D’altra parte $L_0(mathbb(v)_3)=(0,1,1)=mathbb(v)_2=(0,1,0)_B$. Dunque:
$A=((2,0,0),(0,2,1),(0,0,0))$
è la matrice cercata.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)