Ciao a tutti.
Sapendo che esiste una Applicazione Lineare \(\displaystyle \mathrm{F:} \mathbb{R}^3->\mathbb{R}^3 \) che manda un piano/retta/punto in un altro piano/retta/punto, sapreste dirmi come si può ricavare la forma esplicita come per esempio questa: \(\displaystyle \mathrm{F(x,y,z)=(x+y,z-2x,y+5z)}\)?
Esercizio-Esempio
Sia \(\displaystyle \mathrm{T:} \mathbb{R}^3->\mathbb{R}^3 \) che manda il piano \(\displaystyle \pi\mathrm{:-2x+3y+z+1=0}\) nel piano \(\displaystyle \rho \mathrm{:x-3y+2z=0}\), voglio trovare la forma esplicita o anche la matrice associata a T [PS. è un esercizio inventato]
Mia Soluzione:
Mi sono ricondotto le equazioni dei due piani in forma parametrica
\(\displaystyle \pi: \begin{cases} x=s \\ y=r \\ z= 2s - 3r -1\end{cases} \) e \(\displaystyle \rho: \begin{cases} x=3s'-2r'\\ y=s' \\ z=r'\end{cases} \)
Da questi sistemi posso ricavare i vettori generatori dei due piani che sono rispettivamente \(\displaystyle \mathrm{v1=(1,0,2)} , \mathrm{v2=(0,1,-3)}, \mathrm{w1=(3,1,0)}, \mathrm{w2=(-2,0,1)}\).
Da questo punto in poi non sono sicurissimo:
Aggiungo un vettore in modo da ottenere che B={v1,v2,(0,0,1)} è una base dell'insieme di partenza, B'={w1,w2,(0,0,1)} è una base dell'insieme di arrivo. [sia per B che per B' ho scelto il vettore della base canonica (0,0,1)]
Sapendo che T è un'applicazione lineare, allora le immagini della base B potranno essere scritte come combinazione lineare dei vettori che compongono B'.
\(\displaystyle \mathrm{F(v1)=F(1,0,2)=a(w1)+b(w2)+c(0,0,1)} \)
\(\displaystyle\mathrm{F(v2)=F(0,1,-3)=d(w1)+e(w2)+f(0,0,1)} \)
\(\displaystyle\mathrm{F(v3)=F(0,0,1)=g(w1)+h(w2)+i(0,0,1)} \)
da cui potrei ricavare la matrice associata alla mia applicazione lineare \(\displaystyle M=\begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{pmatrix} \), la quale, se moltiplicata per un vettore colonna \(\displaystyle \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \), dovrebbe riportarmi alla formula che tanto sto cercando.
Adesso però non so come trovare i coefficienti della Matrice M... e qui giungo al termine del mio ragionamento e chiedo aiuto a voi.
Se qualcuno è così gentile da dirmi se ci sono errori di ragionamento (possono esserci di calcolo) e dove, e soprattutto se ci sono dei modi alternativi, mi farebbe un grosso favore.
Grazie in anticipo!