Ciao a tutti, volevo chiedervi se potreste darmi una mano con questo esercizio. A breve ho l'esame di geometria e algebra lineare e ci sono alcune cose che non ho capito.
Si consideri lo spazio vettoriale $ R[x] $ dei polinomi nell'indeterminata x a coefficienti reali con le operazioni di somma tra polinomi e di moltiplicazione per uno scalare reale. Stabilire se i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali di $ R[x] $ motivando la risposta:
a. il sottoinsieme dei polinomi di grado 5;
b. il sottoinsieme dei polinomi $ p(x) $ per cui $ p(1)= p(\pi) $;
c. il sottoinsieme dei polinomi che non contengono potenze pari di $ x $;
d. il sottoinsieme dei polinomi che ammettono almeno una radice reale;
e. il sottoinsieme dei polinomi del tipo $ (x^2+1)*q(x) $ con $ q(x) in R[x] $.
Considerazioni personali:
a. tale insieme non penso sia un sottospazio perché se sommo al polinomio generico di grado 5 lo stesso polinomio che ha il coefficiente di grado 5 uguale ma col segno negativo allora la somma di questi due polinomi non è di grado 5;
b. non lo so, vorrei una mano da voi;
c. penso sia un sottospazio perché se sommo due polinomi con grado dispari ottengo sempre polinomi di grado dispari, stessa cosa succede se moltiplico per uno scalare non nullo;
d. penso non sia un sottospazio, perché se prendiamo $ x^2 + 2x + 1 $ che ha una radice, e lo sommiamo con un altro polinomio con radice (ad esempio) $ -2x + 1$ , otteniamo $ x^2 + 2$ che non ha nessuna radice reale;
e. intuitivamente penso sia un sottospazio ma non so dimostralo.
Grazie in anticipo, apprezzerei davvero una mano perché di ciò non ho capito molto.