Diagonalizzazione e ortogonalità

[Tommaso99]

Scusami! Mi sfugge il concetto di endomorfismo quindi non saprei come muovermi...

[Bokonon]

Scusami! Mi sfugge il concetto di endomorfismo quindi non saprei come muovermi...

Non farci caso è irrilevante.
Trova la matrice a partire da quelle informazioni.
P.S. Il concetto è che se è simmetrica allora gli autovettori relativi ad autospazi diversi sono ortogonali. E se effettivamente troverai una matrice di autovettori che soddisfi il requisito, verrà fuori simmetrica.

[Tommaso99]

Scusa ma non capisco, devo risolvere il tuo quesito oppure quello del primo utente? Perchè nel tuo il concetto è fondamentale

[dissonance]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Sottolineo che, naturalmente, qui stiamo parlando del caso di matrici reali, con autovalori reali. Nel caso complesso la situazione è un pochino più complicata e bisogna introdurre il concetto di "matrice normale".

[Bokonon]

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Sottolineo che, naturalmente, qui stiamo parlando del caso di matrici reali, con autovalori reali. Nel caso complesso la situazione è un pochino più complicata e bisogna introdurre il concetto di "matrice normale".

Grazie della precisazione
Per la verità avevo specificato anch'io che si parlava del campo reale nella prima dimostrazione in cui usavo le skew e le sym...poi (pacca sulla testa) ho realizzato che potevo dimostrare la cosa in modo assai più semplice...

[Bokonon]

Scusa ma non capisco, devo risolvere il tuo quesito oppure quello del primo utente? Perchè nel tuo il concetto è fondamentale

Beh risolvi entrambi "i punti"
Dai che è facilissimo!

[Tommaso99]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Sottolineo che, naturalmente, qui stiamo parlando del caso di matrici reali, con autovalori reali. Nel caso complesso la situazione è un pochino più complicata e bisogna introdurre il concetto di "matrice normale".

Sisi abbiamo fatto solo queste, comunque non so perchè dice che l'ho contrassegnato come fuori tema, non ho fatto nulla

[Tommaso99]

Scusa ma non capisco, devo risolvere il tuo quesito oppure quello del primo utente? Perchè nel tuo il concetto è fondamentale

Beh risolvi entrambi "i punti"
Dai che è facilissimo!

Allora nel primo punto basterebbe dimostrare che m1 +m3 faccia 3 però mi fermo dopo aver calcolato m1 che è 2 e non so più andare avanti.
Per quanto riguarda il tuo quesito non so cosa sia un endomorfismo quindi non so cosa devo trovare

[Bokonon]

Allora nel primo punto basterebbe dimostrare che m1 +m3 faccia 3 però mi fermo dopo aver calcolato m1 che è 2 e non so più andare avanti.
Per quanto riguarda il tuo quesito non so cosa sia un endomorfismo quindi non so cosa devo trovare

Dimentica che ho scritto quel "parolone", è irrilevante. Eliminalo dalla testa.

L'esercizio dice che l'autovalore 1 è associato ad un autospazio che è un piano. Quindi ha dimensione 2.
Tradotto: due radici coincidenti $lambda_1=lambda_2=1$ e si può trovare una base di due autovettori per quel piano, no?

Poi c'è un altro autovalore $lambda_3=3$. Se è un autovalore allora la matrice $(A-3I)$ è singolare ed avrà un kernel con dimensione uno. Perchè? Perchè la molteplicità geometrica è sempre minore o uguale a quella algebrica...MAI maggiore!
Quindi da $(A-3I)$ potremo ricavare esattamente un autovettore.

Totale molteplicità algebrica 3=molteplicità geometrica. Ergo la matrice è diagonalizzabile.

Il passo successivo è derivarla...abbiamo la matrice diagonale $ D=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $
Cominciamo trovando due autovettori qualsiasi del piano $x+y+2z=0$ da associare all'autovalore 1

[Tommaso99]

L'esercizio dice che l'autovalore 1 è associato ad un autospazio che è un piano. Quindi ha dimensione 2.
Tradotto: due radici coincidenti $lambda_1=lambda_2=1$ e si può trovare una base di due autovettori per quel piano, no?

Mi son perso completamente, allora in questa riesco a trovare dimensione e basi formati dai due autovettori però non riesco a capire perchè i due lambda sono coincidenti e sono uguali a 1

Poi c'è un altro autovalore $lambda_3=3$. Se è un autovalore allora la matrice $(A-3I)$ è singolare ed avrà un kernel con dimensione uno. Perchè? Perchè la molteplicità geometrica è sempre minore o uguale a quella algebrica...MAI maggiore!
Quindi da $(A-3I)$ potremo ricavare esattamente un autovettore.

Qui invece non riesco a capire come facciamo a dire che la molt alg è 1...