da maion » 13/03/2019, 19:53
Sostanzialmente mi sono reso conto che:
ad esempio definendo un prodotto scalare detto "standard" del tipo:
forma bilineare simmetrica definita positiva tale che $\phi(x,y)=x_1y_1+x_2y_2$
a questa posso associare in qualunque base io prenda in $R^2$ una matrice che la rappresenti (matrice associata), ogni matrice sarà simmetrica e definita positiva per qualunque base.
Inoltre se x=y si ha $\phi(x,x)=x_1^2+x_2^2$(*)
esempio se voglio scomporre il vettore $(3,2)$ nella base $(1,0),(0,1)$ posso, come noto, usare il prodotto scalare:
$(3,2)*((1,0),(0,1))*(1,0)=3$
$(3,2)*((1,0),(0,1))*(0,1)=2$
Inoltre vale (*)
$(3,2)*((1,0),(0,1))*(3,2)=13$
La cosa interessante è che se prendo una matrice che rappresenta tale prodotto scalare, ad esempio rispetto a una base $(1,1),(0,1)$
Nel mio esempio la matrice che la rappresenta sarà (calcoli non errrati permettendo): $((2,1),(1,1))$
Mettiamo di scomporre il vettore che prima era (3,2) rispetto alla base canonica; ora sarà: $(2,1)$ il vettore nella nuova base (ho applicato la matrice cambiamento di base per ottenerlo)
E di nuovo:
$(2,1)*((2,1),(1,1))*(2,1)=13$, ovviamente come atteso.
Inoltre se volessi trovare le componenti rispetto a quello che era (0,1) nella vecchiabase e che ora è: (1,-1) posso farlo applicando di nuovo il prodotto scalare:
$(2,1)*((2,1),(1,1))*(1,-1)=2$
e così anche per (1,0) che nella nuova base è: $(0,1)$
$(2,1)*((2,1),(1,1))*(0,1)=3$
lecomponenti che aspettavo.
In pratica dato il prodotto scalare posso sempre usare le matrici rappresentative di tale prodotto per una base e scomporre un vettore nelle sue componenti rispetto a due vettori ortogonali rispetto a tale prodotto scalare e vale $\phi(x,x)=x_1^2+x_2^2$ che generalizzando sarebbe: $sum_(i=0)^nc_i=<x,x>$
Da ciò, mi chiedevo se una cosa del genere valesse:
1) per ogni forma bilineare simmetrica definita positiva il poter scomporre in componenti in tale modo (cioé non solo per il prodotto scalare e il concetto di ortogonalità ad esso associato ma per ogni ortogonalitàdovuta all'introduzione di una forma bilineare simmetrica definita positiva).
2) E nel caso valesse per 1 se l'unico caso in cui non vale è per forme bilineari in cui vi è un vettore isotropo. Tipo le semidefinite (cioè se il problema per cui non funziona risiede nel vettore isotropo)