Buongiorno, non ho ben capito la dimostrazione del seguente teorema
Sia \( G \) un sottogruppo di \( \mathbb{Z}^n \) allora esiste \( B \in \mathbb{Z}^{m \times k } \), \( \operatorname{rang}(B)=k \) tale che il reticolo \( \Lambda(B)=G\)
Dimostrazione:
Siano \( v_1, \ldots, v_k \in G \) tale che
i) \( v_1, \ldots, v_k \) sono linearmente indipendenti
ii) \( \operatorname{span}_{\mathbb{Q}}( v_1, \ldots, v_k)=\operatorname{span}_{\mathbb{Q}}( G) \)
Sia, \( B=( v_1, \ldots, v_k)\), se \( G= \Lambda(B) \) il teormea è dimostrato.
Altrimenti \( \Lambda(B) \subset G \) dunque \( \exists v^* \in G / \Lambda(B) \); sia \( B^* \) una base generale del reticolo \( \Lambda(v_1,\ldots,v_k,v^* ) \).
\( \Lambda(B) \subset \Lambda(v_1,\ldots,v_k,v^* ) \) e
\( B=B^* U\); \( U \in \mathbb{Z}^{k \times k} \)
\( \begin{vmatrix} \det(U) \end{vmatrix} \in \mathbb{N}_{\geq 2} \) allora abbiamo
\( \begin{vmatrix} \det(B^T B) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \det(U^T B^{*T}B^* U) \end{vmatrix} = \det(U)^2 \begin{vmatrix} \det(B^{*T} B^*) \end{vmatrix} \)
Dunque \( \begin{vmatrix} \det(B^{*T} B^*) \end{vmatrix} \leq \frac{1}{4} \begin{vmatrix} \det(B^{T} B^) \end{vmatrix} \)
Visto che \( \begin{vmatrix} \det(B^T B) \end{vmatrix} \geq 1 \) questa procedura non può continuare all infinito.
C.V.D.
Domanda 1:
Abbiamo sempre definito l'indipendenza lineare tra elementi di spazi vettoriali, idem per la copertura lineare.
Lì mi dice che gli elementi sono di un gruppo, che non è uno spazio vettoriale. È vero che un spazio vettoriale è un gruppo abeliano rispetto alla somma. E \( G \) a priori potrebbe non esserlo!! Cosa vuol dire che gli elementi di un gruppo sono linearmente indipendenti? In un gruppo non c'è la nozione di scalare e nemmeno di moltiplicazione per uno scalare... stessa cosa per la copertura lineare di elementi di un gruppo? Con la copertura lineare quando scrive \( \operatorname{span}_{\mathbb{Q}}( v_1, \ldots, v_k) \) presumo che prende degli scalri in \( \mathbb{Q} \) e utilizza la moltiplicazione standard. Però un vettore di \( G \subset \mathbb{Z}^n \) a priori se moltiplicato con un razionale \( q \in \mathbb{Q} \) potrebbe non essere stabile rispetto alla moltiplicazione per questo scalare, e di nuovo \( G \) potrebbe non essere abeliano. Dunque anche se considerasse \( (G,\cdot,+) \) su \( \mathbb{Q} \) nulla mi assicura che formi uno spazio vettoriale e dunque nulla mi assicura di poter utilizzare la definizione di copertura lineare e di indipendenza lineare, sbaglio?
Domanda 2:
Non ho ben capito il motivo per cui \( B = B^* U \).
Domanda 3:
Perché il fatto che la procedura ad un certo termina (visto che il determinante ad un certo si stabilizza su un numero intero) assicura l'esistenza di un \( B \in \mathbb{Z}^{m \times k} \) di rango \( k \) e tale che il reticolo \( \Lambda(B) = G \)? Non ho ben capito come le due cose sono legate...
Grazie mille