Aiuto sui sistemi lineari!!!

[alix12]

Buonasera, vi scrivo per chiedervi il chiarimento su un problema che mi sta dando molti grattacapi.
Il testo è il seguente si consideri l'applicazione lineare: \( f: \Re ^3 \rightarrow \Re ^4 \) definita da:
f(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix})= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 5 & -2 & -1 \\ 2 & -2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}.
La soluzione è la seguente: L'immagine di f è un piano.
Ho ridotto con Gauss e ho trovato che la dimensione dell'immagine è 2. Non riesco però a capire come faccio ad esprimere il risultato dell'immagine come piano. Sapreste aiutarmi? grazie mille a chi lo farà!

[Bokonon]

Si vede chiaramente che la seconda e terza colonna sono lin. dip.
L'immagine è la combinazione lineare della prima e (scegliamo) la terza colonna:
$ pi:{( ( x ),( y ),( z ),( w ) ) = a( ( 1 ),( 4 ),( 5 ),( 2 ) ) + b( ( 1 ),( 1 ),( -1 ),( -1 ) ) $
Risolvendo il sistema passi dalla forma parametrica a quella cartesiana.
Una delle possibili forme è:
$ { ( 2x-y+w=0 ),( x-y+z-w=0 ):} $

[alix12]

Grazie mille! ho finalmente capito! Vorrei chiedere, se possibile, un chiarimento su un esercizio simile. Il testo è il seguente: Si consideri il seguente sistema lineare :




So che la soluzione giusta è la A. innanzitutto calcolo il determinante che è uguale a 0 per K=0 e k=1. Calcolo con Gauss il rango e risulta che il rango della matrice incompleta è 2. Dunque, per il teorema di Rouchè-Capelli, dovrebbero esserci \( \infty ^1 \) soluzioni. tuttavia non riesco a capire come esprimere ciò attraverso una retta. sapresti aiutarmi? Grazie mille ancora!

[Bokonon]

Andiamo con ordine.
Considerando la matrice completa e usando Gauss-Jordan si arriva a:
$ ( ( 1 , k-1 , 2-k , k+5 ),( 0 , 1 , k , -k-1 ),( 0 , 0 , k(k-1) , k ) ) $
Da cui possiamo vedere (per Rouchè-Capelli) che per $k=1$ il sistema non ha nessuna soluzione.
Mentre per $k=0$ ci sono infinite soluzioni
E infine per valori diversi da 0 e 1 c'è un'unica soluzione.

Segue che si possono escludere tutte le opzioni eccetto la A.
Per $k=0$ abbiamo il sistema completo:
$( ( 1 , -1 , 2 , 5 ),( 0 , 1 , 0 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) )$
La cui soluzione è $(4, -1, 0)$...ed è la nostra soluzione particolare.
Ora risolviamo il sistema omogeneo:
$( ( 1 , -1 , 2 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )$
e troviamo $(-2, 0, 1)$

Pertanto l'insieme delle soluzioni è:
$ {( ( x ),( y ),( z ) ) = t( ( -2 ),( 0 ),( 1 ) )+( ( 4 ),( -1 ),( 0 ) ) $
ovvero una retta che non passa per l'origine

[alix12]

Grazie mille! Tutto chiaro!