Esercizio, si determini una base

Messaggioda giulio0 » 01/06/2019, 16:11

Determinare una base per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di $R^5$ che sia un sottospazio vettoriale:
(i) $X = { a( 2, 1, 0, 3, 3) + b( 0, 1, 2, 5, 5) + c( -1, 0, 1, 1, 1) | a,b,c in R}$
(ii) $ Y = { (a + b, 2b + a - 2, b - a + 2, a, b) in R^5 | a,b in R}$

Salve a tutti ecco un esercizio sulla determinazione di una base per ogni sottospazio. Il primo lo svolgo facendo la matrice associata e lo riduco con Gauss:

$(( 2, 0, -1), ( 0, 2, 1), ( 0, 0, 1), ( 0, 0, 0), ( 0, 0, 0))$

il rango è massimo quindi tutti i vettori costituiscono una base del sottospazio.

(ii) Col se condo ho difficoltà a farne la matrice associata. I termini noti li dovrei inserire nella matrice come si fa con Gauss-Jordan?
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Re: Esercizio, si determini una base

Messaggioda giulio0 » 01/06/2019, 17:21

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Re: Esercizio, si determini una base

Messaggioda Bokonon » 01/06/2019, 20:51

Il primo è ok. E' un sottospazio vettoriale di $R^5$ di dimensione 3...un iperpiano.
Perchè è un sottospazio vettoriale?

Il secondo è generato dal vettore $ ( ( a+b ),( 2b+a-2 ),( b-a+2 ),( a ),( b ) ) = a( ( 1 ),( 1 ),( -1 ),( 1 ),( 0 ) ) + b( ( 1 ),( 2 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) ) + ( ( 0 ),( -2 ),( 2 ),( 0 ),( 0 ) ) $
Come vedi è facile scomporlo in una somma, prova da te.
Quindi è un sottospazio di $R^5$ ma affine, non vettoriale. Perchè?
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