sottospazio di tre vettori

Messaggioda dr97 » 03/06/2019, 12:24

salve ragazzi, potreste darmi una mano con questo esercizio:
data un equazione lineare in quattro incognite, determinare l'insieme delle soluzioni S e stabilire se S è sottospazio vettoriale di $ RR^4 $ e, in caso affermativo, se ne determini la dimensione.

L'insieme S delle soluzioni che ho trovato è S={(a,b,-2a+b+3c,c)}, ora come faccio a stabilire se questo è sottospazio di $ RR^4 $?
grazie a chi risponderà.
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Re: sottospazio di tre vettori

Messaggioda Bokonon » 03/06/2019, 19:33

Un'equazione generica in 4 incognite è $ax+by+cz+dw=e$
Immagina per un secondo che $e=0$. Tre variabili libere a piacere significa che è un iperpiano di dimensione 3 passante per l'origine...e questo sarebbe un sottospazio vettoriale.
Ma poi viene traslato lungo la variabile dipendente di una quantità "e". Quindi è uno spazio affine di dimensione 3.

Lo spazio delle soluzioni è $ {( ( x ),( y ),( z ),( w ) ) = k( ( -b ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) )+m( ( -c ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )+n( ( -d ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )+( ( e/a ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
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Re: sottospazio di tre vettori

Messaggioda dr97 » 05/06/2019, 10:47

ciao Bokonon, non vorrei rubarti altro tempo, ti ringrazio del tempo che mi hai dedicato ma non ho ben capito...
la mia equazione lineare di partenza è
2x-y+z-3t=0, da qui poi ho ricavato l'insieme delle soluzioni e ho provato, sicuramente sbagliando, semplicemente a sostituire il vettore nullo nell'insieme S delle soluzioni però poi non so più come continuare...
potresti dedicarmi altri 5 minuti?
grazie mille
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Re: sottospazio di tre vettori

Messaggioda Bokonon » 05/06/2019, 14:26

Innanzitutto scusami perchè ho scritto male la soluzione completa:
$ {( ( x ),( y ),( z ),( w ) ) = k( ( -b/a ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) )+m( ( -c/a ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )+n( ( -d/a ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )+( ( e/a ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
Che nel nostro caso diventa $ {( ( x ),( y ),( z ),( w ) ) = k( ( 1/2 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) )+m( ( -1/2 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )+n( ( 3/2 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) )$
Ma io preferisco eliminare le frazioni: $ {( ( x ),( y ),( z ),( w ) ) = k( ( 1 ),( 2 ),( 0 ),( 0 ) )+m( ( 1 ),( 0 ),( -2 ),( 0 ) )+n( ( 3 ),( 0 ),( 0 ),( 2 ) )$

Abbiamo persino la base ${b_1,b_2,b_3}$, quindi la dimostrazione che sia uno spazio vettoriale di dimensione 3 è triviale. Si applicano le definizioni stesse.
Contiene il vettore nullo? La combinazione lineare $k=m=n=0$ restituisce ${0}$
Presi due generici vettori $in B$, la loro comb. lineare è ancora $in B$?
$alphav+betaw=alpha(kb_1+mb_2+nb_3)+beta(ob_1+pb_2+qb_3)=(alphak+betao)b_1+(alpham+betap)b_2+(alphan+betaq)b_3$
La risposta è "certo che si".
Insomma è davvero così banale...
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Re: sottospazio di tre vettori

Messaggioda dr97 » 05/06/2019, 15:52

Ti ringrazio ancora Bokonon!!!
Sei stato molto chiaro
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