Fissato un riferimento cartesiano dello spazio della geometria elementare, si considerino le rette
s:= $ { ( x − y + z = 1 ),( x + y + z = −1 ):} $ e $r := (0, 0, 1) + (1, 1, 0)t$.
(a) Le rette s ed r sono sghembe? ◦ Si ◦ No Perché?
(b) Determinare la comune perpendicolare a s ed r.
(c) Determinare un piano parallelo sia a r sia a s.
Vorrei avere un confronto con voi:
a) scrivo la matrice associata delle due rette e calcolo il rango se questo è massimo allora non sono sghembe altrimenti lo sono. Per prima cosa riscrivo la retta s in forma parametrica:
$ { ( x = t - z ),( y=t ),( z = -x-t ):} $
quindi come parametri ho il vettore ( 1, 1, -1). Ora scrivo la matrice associata e calcolo il rango:
$(( 1, 1, -1), (1, 1, 0))$
il rango è 1 quindi le rette sono sghembe.
b) controllo che le rette sono parallele e lo sono, essendo parallele allora esiste una retta perpendicolare ad entrambe. Trovo il vettore $( 1, -1, 0)$ il cui prodotto scalare con entrambi i vettori dà 0.
c) Qui avevo pensato di trovare una retta parallela ad entrambe che appartiene ad un piano, ma una volta trovata la retta come trovo l'equazione del piano?