Siano \( a_1, \ldots , a_m \in \mathbb{R}^n \), per \( z \in \mathbb{R}^n \) e \( v \in S^{n-1} \) consideriamo la retta
\( L_{z,v} \) definita come
\[ L_{z,v} = \{ z + \lambda v : \lambda \in \mathbb{R} \} \]
Sia \( d(a_i,L_{z,v}) \) la distanza tra \( a_i \) e \( L_{z,v} \), per \( i =1,\ldots ,m \)
i) Supponi che \( \sum\limits_{i} a_i = 0 \) dimostra che \( \sum\limits_{i} d(a_i,L_{z,v})^2 \geq \sum\limits_{i} d(a_i,L_{0,v})^2 \) per tutti \( z \in \mathbb{R}^n \).
ii) Concludere che dati dei punti \( a_1, \ldots, a_m \) possiamo trovare un \( z \in \in \mathbb{R}^n \) e \( v \in S^{n-1} \) tale che
\[ \sum\limits_{i} d(a_i,L_{z',v'})^2 \geq \sum\limits_{i} d(a_i,L_{z,v})^2 \]
per tutti gli \( z' \in \mathbb{R}^n \) e \( v' \in S^{n-1} \) in particolare dare una formula per \( z \) e descrivere la matrice \( A \) tale che un autovettore normalizzato di \( A^T A \) associato all'autovalore più grande è una soluzione per \( v \)
Per il punto i) non capisco solo un passaggio
\[ \sum\limits_{i} d(a_i,L_{z,v})^2 -\sum\limits_{i} d(a_i,L_{0,v})^2 = \sum\limits_{i} (-2 \left \langle a_i , z \right \rangle + \begin{Vmatrix} z \end{Vmatrix}^2 + 2 \left \langle a_i , v \right \rangle \left \langle z , v \right \rangle - \left \langle z , v \right \rangle^2 ) \]
\[ \sum\limits_{i} d(a_i,L_{z,v})^2 -\sum\limits_{i} d(a_i,L_{0,v})^2 = m(\begin{Vmatrix} z \end{Vmatrix}^2 - \left \langle z , v \right \rangle^2 ) \geq 0 \]
Non capisco come mai il risultato sia \( m(\begin{Vmatrix} z \end{Vmatrix}^2 - \left \langle z , v \right \rangle^2 ) \)
Per il punto ii) non capisco due cose, prima di tutto fa notare come il risultato sia invariante per traslazione per \( -t \in \mathbb{R}^n \), sostituendo \( a_i' = a_i - t \) e \( z' = z- t \) si ottiene che
\[ \sum\limits_{i} d(a_i,L_{z,v})^2 = \sum\limits_{i} \begin{Vmatrix} a_i -z \end{Vmatrix}^2 - \left \langle a_i- z , v \right \rangle^2 = \sum\limits_{i} \begin{Vmatrix} a_i' -z' \end{Vmatrix}^2 - \left \langle a_i'- z' , v \right \rangle^2 = \sum\limits_{i} d(a_i',L_{z',v})^2 \]
E deduce direttamente che \( z = \frac{1}{m} \sum\limits_i a_i \) ma io non capisco come abbia fatto a trovare questo valore di \( z \). Inoltre non capisco il motivo per cui fa notare che il risultato è invariante per rotazione.
Per la matrice dice semplicemente che visto che lo spazio ottimale deve avere lo zero shifta i vettori \( a_1 \) all origine e crea questa matrice, ma non capisco il motivo per cui soddisfa le richieste...
\( A = \begin{pmatrix}
(a_1 - z)^T\\
\vdots\\
(a_m-z)^T
\end{pmatrix} \)
Tra l'altro non mi sembrando "shiftati" all origine.