Dubbio matrice composizione

Messaggioda mobley » 09/06/2019, 09:08

Ho un dubbio… Date le applicazioni

$F:RR^4->RR^3:F(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+2x_2,0,x_3)$ e $G:RR^3->RR^4:G(y_1,y_2,y_3)=(0,y_1-y_2,2y_3,y_1)$

devo scrivere la matrice $ A=M(F@ G) $ dell'applicazione $F@G$. Sembrerebbe banale ma tendo sempre a confondermi con la sostituzione delle variabili. Ho fatto:
$F@G=F(G(y_1,y_2,y_3))=F(0,y_1-y_2,2y_3,y_1)=(2y_1-2y_2,y_1-y_2,2y_3,y_1)rArr A= [ ( 2 , -2 , 0 ),( 1 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ),( 1 , 0 , 0 ) ] $
dove:
$0=x_1$
$y_1-y_2=x_2$
$2y_3=x_3$
$y_1=x_4$

Perchè questi esercizi mi mandano sempre in crisi? :roll:
mobley
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Re: Dubbio matrice composizione

Messaggioda caulacau » 09/06/2019, 09:37

Perché invece di fare un prodotto di matrici fai questa cosa, mai vista in cielo o in terra. Scrivi la matrice di $F$, scrivi quella di $G$, moltiplicale.
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Re: Dubbio matrice composizione

Messaggioda mobley » 09/06/2019, 10:03

Grazie caulacau! Certo che $A=M(F@G)=M(F)M(G)$, ma il mio obiettivo era proprio quello di giustificarlo. E una volta ottenuta la matrice di composizione, per dimostrarne la correttezza, avrei verificato che è esattamente pari al prodotto delle due matrici. Ad esempio, date $f(x,y)=(x-2y,x+y,x+y)$ e $g(x,y,z)=(x+y,x-y)$ si ha $g@f=(2x-y,-3y)$, e si verifica che la sua matrice associata è pari al prodotto matriciale di g per f.

Giustamente in questo caso ho sbagliato perché $y_1-y_2$ (che diventa la nostra $x_2$) è uguale a zero, e $y_1$ non c'è perchè f ha immagine in $RR^3$. Quindi abbiamo $f@g=(2y_1-2y_2,0,2y_3)$, la cui matrice associata è proprio il prodotto tra le due matrici.
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