Esercizio, nucleo ed immagine

Messaggioda giulio0 » 18/06/2019, 17:15

Data l’applicazione lineare T : (x, y, z) ∈ R^3 → (x + y, 2x − y, y, x + z) ∈ R^4
(i) dire se l’applicazione T e iniettiva e suriettiva;
(ii) determinare il sottospazio vettoriale Im(T) e un sistema lineare omogeneo di cui esso e l’insieme
delle soluzioni.
(iii) E vero che il vettore (1, 0, 1, 1) appartiene a Im(T)?

Volevo un confronto con voi ragazzi.

(i) I vettori linearmente indipendenti saranno i vettori immagine, quindi calcolo e riduco con Gauss la matrice associata e trovo:

$((1,0,0),(2,-3,0),(0,1,0),(0,0,1))$

(ii) il sottospazio vettoriale dell'Im(T) sarebbe:

$((1,1,0),(2,-1,0),(0,0,1))$

il sistema lineare omogeneo per cui Im(T) è insieme delle soluzioni intende questo?

$((1,1,0),(2,-1,0),(0,0,1),(0,0,0))$?

(iii) Per vedere il vettore appartiene all'immagine mi basta mettere a sistema e trovo che:

$ { ( x + 2y = 1 ),( x -y = 0 ),( z = 1 ),( 0 = 1 ):} $ ????

il vettore non appartiene dunque all'immagine
giulio0
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