Bordo di un convesso

Messaggioda anto_zoolander » 18/06/2019, 18:23

Ciao!

Sapete dove posso trovare una dimostrazione per la seguente affermazione?

se $CsubsetRR^n$ è non vuoto convesso e compatto allora $partialC$ è omeomorfo alla sfera $n-$dimensionale

Ammesso che sia vero.
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Re: Bordo di un convesso

Messaggioda caulacau » 18/06/2019, 22:04

Prendi un punto interno rispetto cui $C$ è stellato; \(x\mapsto \frac{x}{|x|}\) è un omeomorfismo, e in effetti un diffeomorfismo $C^1$.
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Re: Bordo di un convesso

Messaggioda anto_zoolander » 18/06/2019, 22:16

Ho provato a fare qualcosa di simile considerando una palla contente totalmente il convesso e definendo una funzione analoga a quella ma non sono riuscito a dimostrare che fosse un omeomorfismo
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Re: Bordo di un convesso

Messaggioda caulacau » 18/06/2019, 23:49

Beh, dov'è il problema?
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Re: Bordo di un convesso

Messaggioda otta96 » 19/06/2019, 00:15

Che non è vero.
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Re: Bordo di un convesso

Messaggioda vict85 » 19/06/2019, 12:29

Attento anto_zoolander: La sfera usuale non è una 3-sfera ma una 2-sfera perché come varietà ha dimensione 2.
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Re: Bordo di un convesso

Messaggioda anto_zoolander » 19/06/2019, 13:13

Ciao vict :-D
Si intendevo sostanzialmente quella e non come varietà
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Re: Bordo di un convesso

Messaggioda arnett » 19/06/2019, 13:29

Al di là del fatto che hai bisogno la sfera $n-1$ dimensionale come ti è già stato fatto notare, non basta che $C$ sia non vuoto (pensa a un segmento chiuso in $\RR^3$), ma deve avere interno non vuoto. Se vuoi una referenza per la dimostrazione puoi guardare su Lee, An introduction to topological manifolds, Proposition 5.1.
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Re: Bordo di un convesso

Messaggioda anto_zoolander » 19/06/2019, 13:31

Grazie arnett lo cerco subito :-D
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