Ciao. Quello che segue è un esercizio (che faccio perché è da fine maggio che non prendo un libro di matematica in mano e sto per dimenticarmi anche la definizione di spazio ).
Si definisca una funzione continua come un funzione che rispetta la relazione di aderenza. Intendo dire che \( f\colon X_1\to X_2 \) è continua se per ogni \( A\subset X \), preso un punto \( x \) aderente all'insieme, l'immagine secondo \( f \) di \( x \) è aderente a \( f_*A \).
Ora, se \( f\colon X\to\mathbb{R}^n \) è una funzione tra (sottoinsiemi di) spazi euclidei, essa è continua se e solo se le sue componenti \( f_i\colon X\to\mathbb{R} \), per \( i=1,\dots,n \), sono continue.
Ovviamente, sono cieco davanti al fatto che il prodotto di spazi sia costruito per garantire questa proposizione. (Perché l'esercizio lo richiede).
Dimostrazione. Siano le \( n \) componenti continue. Sia \( x \) aderente ad un \( A\subset X \); allora, per un \( \delta>0 \) esistono \( y_1,\dots,y_n \) punti rispettivamente appartenenti a \( \left(f_i\right)_*A \) tali che \( d\left(f_i(x),y_i\right)<\delta/\sqrt{n} \). Quello che dovrei provare a questo punto, è l'esistenza di un \( y\in f_*A \) tale che \( d\left(f(x),y\right)\) sia minore di \( \delta \), ma incontro una difficoltà. L'idea un po' ignorante è di considerare il punto \( y=\left(y_1,\dots,y_n\right) \), e notare che vale (usando volontariamente gli stessi simboli per le distanze dei rispettivi spazi)
\[
\textstyle{\sum_i d\left(f_i(x),y_i\right)^2}=d\left(f(x),y\right)^2 < \delta^2
\] e quindi la tesi. Ma \( y \) appartiene all'immagine di \( A \) secondo \( f \)? Quello che so di per certo, è che \( y \) appartiene al prodotto \( \prod_i\left(f_i\right)_*A \), del quale \( f_*A \) è sottoinsieme. Devo procedere per forza per assurdo?
L'inversa è notevolmente più semplice. Se \( f\colon x\mapsto\left(f_1(x),\dots,f_n(x)\right) \) è continua e \( x \) è sempre aderente ad \( A \), preso \( \delta>0 \) esiste un \( y=\left(y_1\dots,y_n\right) \) in \( f_*A \), e quindi in definitiva \( n \) punti \( y_1,\dots,y_n \) di \( \left(f_i\right)_*A \), tale o tali che
\[
\textstyle d\left(f(x),y\right)=\sqrt{\sum_i d\left(f_i(x),y_i\right)^2}<\delta\quad\text{ossia}\quad d(f(x_i),y_i)<\delta
\] per ogni \( i=1,\dots,n \). \( \square \)