arnett ha scritto:Sono confuso: sia sono convinto che la tua dimostrazione sia corretta, sia credo che quello che vuoi provare sia falso
Mi era venuta l'idea forse ingenua di prendere $D_k=\bigcup_{n\inN} (n-1/k, n+1/k)$ e prendere come sistema fondamentale ${D_n: n\in \mathbb{N}}$. Per insiemi normali sembra funzionare, ma sicuramente mi sbaglio, ditemi dove se lo vedete.
Ok, a partire da questa famiglia di aperti costruisco un aperto che mostra che non è un sistema fondamentale di intorni.
Da come hai scritto direi che facciamo partire i naturali da 1.
$W_1=(1-1/2,1+1/2)-{1+1/3}$
$W_2=(2-1/2,2+1/2)-{2+1/3}$
$W_3=(3-1/3,3+1/3)-{3+1/4}$
...
$W_n=(n-1/n,n+1/n)-{1/(n+1)} \ \ $ per $n>=2$
\(A=\bigcup_{n \in \mathbb{N}^+} W_n\)
Questo aperto non contiene nessun $D_n$.
L'ho costruito copiando (più o meno) la costruzione generale che ho fatto nella dimostrazione, solo che qui ho detto esplicitamente chi sono i punti che tolgo.
Dimmi se ti convince