Uno spazio di Hausdorff non metrizzabile

Messaggioda Cantor99 » 04/07/2019, 21:45

In esercizio viene proposto di dimostrare che
L'insieme $\RR_{Sf}\times \RR_{Sf}$ con la topologia prodotto è di Hausdorff ma non è metrizzabile

essendo $\RR_{Sf}$ la retta di Sorgenfrey, cioè la topologia che ha per base gli intervalli semiaperti $[a,b[$. Lo spazio è di Hausdorff perché $\RR_{Sf}$ è di Hausdorff. Infatti, per ogni $x,y\in \RR_{Sf}$ distinti, detto $0<r<\frac{d(x,y)}{2}$, gli aperti $[x-r,x+r[$ e $]y-r,y+r[$ sono disgiunti e contengono $x$ e $y$ rispettivamente.

Per far vedere che $\RR_{Sf}\times \RR_{Sf}$ non è metrizzabile consiglia di procedere per assurdo. Se $d$ è una sua distanza, per ogni numero reale $t$ si può scegliere un numero reale positivo $h(t)$ tale che
\[
[t,t+h(t)[\times [-t,-t+h(t)[\subset B\Bigg((t,-t), \frac{\mbox{inf}\{d([(t,-t),(r,-r)]: r\ne t\}}{2}\Bigg)
\]
Poi dice "$\forall \varepsilon>0$ mostrare che $\{t\in \mathbb{R} : h(t)>\varepsilon\}$ è numerabile"

Dove nascerebbe l'assurdo? Forse quell'insieme deve essere equipotente a $\RR$. Non capisco dove vuole andare a parare
Grazie
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Re: Uno spazio di Hausdorff non metrizzabile

Messaggioda otta96 » 04/07/2019, 22:04

Non mi sembra buono questo suggerimento di fare per assurdo, non capisco nemmeno io dove vuole andare a parare.
Puoi notare piuttosto che questo spazio è separabile ma non ammette una base numerabile, quindi non è metrizzabile (non è nemmeno normale o $T_4$, se vuoi prova a dimostrarlo, non è facilissimo). Ad ogni modo già la retta di Sorgenfrey non è metrizzabile (ad esempio per gli stessi motivi), quindi figuriamoci il suo quadrato...
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Re: Uno spazio di Hausdorff non metrizzabile

Messaggioda Cantor99 » 04/07/2019, 22:09

Grazie dell'intervento otta96 : attendo di arrivare al capitolo in cui si parla di separabilità, numerabilità.
In ogni caso qualche definizioncina forse la so: questo insieme numerabile $\{[a,b[, \RR, \emptyset\ }_{a,b\in \mathbb{Q}\}$ non è una base per $\RR_{Sf}$?
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Re: Uno spazio di Hausdorff non metrizzabile

Messaggioda otta96 » 04/07/2019, 22:13

È vero ma devi dimostrare che non esiste proprio una base numerabile.
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Re: Uno spazio di Hausdorff non metrizzabile

Messaggioda Cantor99 » 04/07/2019, 23:19

Quella che ho esibito io non è una base numerabile?
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Re: Uno spazio di Hausdorff non metrizzabile

Messaggioda otta96 » 04/07/2019, 23:24

Ah scusa avevo letto male, pensavo dicessi che non era una base, comunque non lo è, dimostralo.
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Re: Uno spazio di Hausdorff non metrizzabile

Messaggioda Cantor99 » 05/07/2019, 01:34

Lo terrò a mente per quanto ci arriverò, ti farò sapere
Grazie
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