Iperboloide

Messaggioda ProPatria » 07/09/2019, 03:57

Ciao a tutti. Vi propongo un esercizio:
Scegliamo tre rette $l_1$,$l_2$,$l_3$ in posizione generica nello spazio, con ciò si intende che nessun piano contiene due tra queste tre rette, né sono tutte parallele a uno stesso piano. Prendiamo un piano qualsiasi $pi$ passante per $l_1$. Esso intersecherà $l_2$ e $l_3$ in due punti, e la retta $m$ congiungente questi due punti intersecherà$l_1$,$l_2$ e $l_3$. Quando il piano pi ruota intorno a $l_1$ la retta $m$ si muove rimanendo sempre incidente a $l_1$,$l_2$ e $l_3$, e genera una superficie infinitamente estesa. Questa superficie è un iperboloide a una falda; essa contiene una famiglia di infinite rette del tipo $m$. Allego un'illustrazione.
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Immagine

Tre qualsiasi di queste rette $m_1$,$m_2$,$m_3$ saranno anch'esse in posizione generica e tutte le rette dello spazio incidenti a queste tre apparterranno alla superficie dell'iperboloide. L'iperboloide infatti è costituito da due diverse famiglie di rette; tre rette qualsiasi della stessa famiglia si trovano in posizione generica e ogni retta di una famiglia interseca tutte le rette dell'altra.
Un'importante proprietà proiettiva dell'iperboloide è che il birapporto dei quattro punti in cui quattro determinate rette di una famiglia intersecano una data retta dell'altra famiglia è indipendente dalla posizione di quest'ultima retta (ciò segue direttamente dal procedimento con cui si costruisce l'iperboloide per mezzo di un piano che ruota).
Sapreste dimostrare quest'ultima affermazione facendo ricorso solamente a nozioni di geometria proiettiva ed elementare? Nel caso in cui sappiate farlo vi pregherei semplicemente di postare qualche "suggerimento" in modo da indirizzarmi sulla giusta strada, dato che non saprei proprio come affrontare il problema. Grazie
ProPatria
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