Esercizio forme quadratiche e vettori isotropi

Messaggioda Leomagno » 11/09/2019, 15:16

Salve.Speravo gentilmente che qualcuno mi potesse chiarire questo esercizio in vista di un'esame di geometria nei prossimi giorni.Ecco il testo con la risoluzione fornita.

Determinare il sottoinsieme H degli (α, β) ∈ R^2 per cui la forma quadratica :

$αx^2 + 2βxy + y^2$

ha vettori isotropi, e dire se H ́e un sottospazio vettoriale o affine di R^2.

Soluzione:
Si ha $αx^2 + 2βxy + y^2 = αx^2 − β^2x^2 + β^2x^2 + 2βxy + y^2 = (α − β^2)x^2 + (βx + y)^2$.
Per cui se $β^2 ≥ α$ si hanno vettori isotropi, altrimenti no.
Ovvero si ha che il determinante della matrice associata ́e ≤ 0 se e solo se si hanno vettori isotropi.
Chiaramente H non ́e un sottospazio affine di R^2.

Con tutta sincerità non capisco senso e passaggi della risoluzione.
Grazie in anticipo.
Leomagno
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Re: Esercizio forme quadratiche e vettori isotropi

Messaggioda Bokonon » 12/09/2019, 23:08

Ciao Leomagno, benvenuto
La matrice associata è $ Q=( ( alpha , beta ),( beta , 1 ) ) $
E' una forma bilineare simmetrica.
1) Se Q è definita positiva (o anche negativa per alcuni testi), allora è un prodotto scalare.
2) Se Q è semidefinita positiva/negativa, allora ammette un kernel con dimensione >0
3) Infine Q può essere indefinita.

Nei casi 2) e 3) si hanno vettori isotropi.
Per la 2) è sufficiente quindi che un autovalore sia zero, ovvero che la matrice abbia rango inferiore al massimo, ovvero che il determinante sia pari a zero.
Pertanto $det(Q)=alpha-beta^2=0$ implica che $alpha=beta^2$

Per la 3) dobbiamo avere due autovalori (ce ne sono solo due e sono reali) di segno opposto.
Oppure usando il metodo dei minori, dobbiamo avere:
a) per $alpha>0$, allora $det(Q)<0$, ovvero $alpha<beta^2$
b) per $alpha<0$, allora $det(Q)>0$, ovvero $alpha>beta^2$

La b) è impossibile perchè $beta^2$ è sempre $>=0$ e un numero negativo non può mai essere maggiore di esso.

Pertanto mettendo assieme la 2) e la 3) abbiamo $alpha<=beta^2$
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