Calcolo angolo fra i vettori

[Tower01]

Ciao,
volevo capire un ragionamento/procedimento

A seguire i dati dell'esercizio completo.

a) Determinare una rappresentazione cartesiana (e parametrica) della retta R passante per i punti
Po = (1, 1, 1) e P1 = (2, 2, -1)
Ho le rette cartesiane $x-y = 0$ e $2x+z-3 = 0$ (quelle parametriche non le inserisco).
b) Determinare l'equazione del piano ortogonale ad S e passante per P2 = (1, 2, 3)
Il piano è $x + y -2z -9 = 0$

Il punto c) chiede la distanza piano e punto P0. E va bene

Mentre la richiesta d) Retta P3 l'intersezione fra S e Piano calcolare l'angolo fra i vettori P3P0 e P3P2.

Ecco, per quanto riguarda la richiesta (d) vorrei capire se è possibile arrivarci tramite ragionamento, ovvero, poiché nella richiesta b trovo una equazione ortogonale, posso affermare che il risultato faccia 0, pertanto $cos(0) = pi/2$ ? Oppure sto fantasticando?

A questo punto il procedimento che vado ad effettuare è il seguente:
Intersezione tra piano e equ. parametriche delle rette (trovate nel punto a).
Pertanto il risultato che trovo è P3 = $[5/2, 5/2, -2]$

A questo punto però mi blocco perché non capisco come procedere.
Penso che bisogna trovare Px= P0 - P3 e Py = P2 -P3 e poi applicare la formula del angolo fra i vettori.
Ma non sono sicuro di questo.

Grazie.

[Bokonon]

Ecco, per quanto riguarda la richiesta (d) vorrei capire se è possibile arrivarci tramite ragionamento, ovvero, poiché nella richiesta b trovo una equazione ortogonale, posso affermare che il risultato faccia 0, pertanto $cos(0) = pi/2$ ? Oppure sto fantasticando?

Volendo si, ma non vedo perchè non fare il prodotto scalare fra i due vettori.

P.S. Il piano che hai trovato è sbagliato. Quello è il piano che passa per $P_2=(1,2,-3)$

[Tower01]

Ecco, per quanto riguarda la richiesta (d) vorrei capire se è possibile arrivarci tramite ragionamento, ovvero, poiché nella richiesta b trovo una equazione ortogonale, posso affermare che il risultato faccia 0, pertanto $cos(0) = pi/2$ ? Oppure sto fantasticando?

Volendo si, ma non vedo perché non fare il prodotto scalare fra i due vettori.

P.S. Il piano che hai trovato è sbagliato. Quello è il piano che passa per $P_2=(1,2,-3)$

Si, scusami.
Errore mio, il punto P2 era (1,2 -3).

Il prodotto scalare si deve fare due volte? (e di conseguenza il calcolo dell'angolo?) ovvero <P3Po> e <P3P2> oppure è corretto il procedimento che ho scritto precedentemente Px = P0 - P3 e via dicendo?

Chiedo questo anche per un esercizio similare che chiede di calcolare il prodotto scalare ma svolgendo il metodo analogo, non mi riesce. Quindi voglio capire se è un errore di calcoli oppure di impostazione.

[Bokonon]

Non ti capisco, non è nemmeno qualcosa su cui perdere tempo IMHO.
$P_3P_0=<3/2,3/2,-3> =v$
$P_3P_2=<3/2,1/2,1> =w$
Il prodotto scalare $v*w=0$ pertanto i due vettori sono ortogonali.
Questo risultato era atteso in quanto il primo vettore ha la medesima direzione della retta e il secondo una direzione del piano. Punto.

In generale applichi la formula derivante dal teorema del coseno $v*w=||v||*||w||*cos(alpha)$
Ma visto che $v*w=0$ allora $cos(alpha)=0$ (perchè la norma di un vettore è sempre positiva a meno che non sia il vettore nullo). Da cui $alpha=pi/2$

P.S. Non dirmi che facevi il prodotto scalare di due punti...
$P_3P_0=P_0-P_3$

[Tower01]

Non ti capisco, non è nemmeno qualcosa su cui perdere tempo IMHO.
$P_3P_0=<3/2,3/2,-3> =v$
$P_3P_2=<3/2,1/2,1> =w$
Il prodotto scalare $v*w=0$ pertanto i due vettori sono ortogonali.
Questo risultato era atteso in quanto il primo vettore ha la medesima direzione della retta e il secondo una direzione del piano. Punto.

In generale applichi la formula derivante dal teorema del coseno $v*w=||v||*||w||*cos(alpha)$
Ma visto che $v*w=0$ allora $cos(alpha)=0$ (perchè la norma di un vettore è sempre positiva a meno che non sia il vettore nullo). Da cui $alpha=pi/2$

P.S. Non dirmi che facevi il prodotto scalare di due punti...
$P_3P_0=P_0-P_3$

No no, svolgevo esattamente in questo modo.

Ma in un altro esercizio dove dopo aver determinato Q, $Q = [-17/41, 18/41, -17/41]$ , bisognava calcolare il prodotto scalare QP0 e QP2, dove P0 = ( 3, 3, 3) e P2 = (1, 2, -3).
Svolgendo utilizzando la stessa logica mi vengono numeri decisamente alti.
E anche qui il risultato è 0.