Identificazione di SO(3)

[Bokonon]

Non mi è chiaro come venga definito l'angolo di rotazione. Non bisognerebbe specificare anche l'orientazione dell'asse?

Riassumendo, l'autovettore associato all'autovalore 1 mantiene il verso originario dell'asse.
L'angolo di rotazione lo si determina con la formuletta.
Se si inverte il verso dell'asse, allora si inverte il senso di rotazione.

[leonardo_mutti]

Non mi è chiaro come venga definito l'angolo di rotazione. Non bisognerebbe specificare anche l'orientazione dell'asse?

Riassumendo, l'autovettore associato all'autovalore 1 mantiene il verso originario dell'asse.
L'angolo di rotazione lo si determina con la formuletta.
Se si inverte il verso dell'asse, allora si inverte il senso di rotazione.

Perfetto. Quindi se fisso un'orientazione dello spazio, dato un versore $v \in a$, l'asse di rotazione, segue l'angolo $\phi(v)$. Al versore $-v$ corrisponde l'angolo $\phi(-v)=-\phi(v)$. Il modulo dell'angolo è dato dalla formula con la traccia, il segno è definito una volta assegnata un'orientazione dello spazio, giusto?

Detto questo (e spero sia tutto giusto finora!), come è possibile che un asse e un angolo determinino una sola rotazione? Non sono necessari un asse, un'orientazione dell'asse e un angolo? (con asse intendo una retta, non un vettore unitario o meno)

[dissonance]

Si, infatti qui stiamo parlando di "asse" ma intendiamo sempre un vettore.

[Bokonon]

Non ti capisco. L'asse è l'autospazio generato dall'autovettore associato all'autovalore 1.
Se l'autovettore è $v$ allora è la base che genera tutti i punti che stanno su $tv$ con t numero reale.
Questa è una retta e tutti i vettori che stanno su di essa sono autovettori di $lambda=1$.
Scegliere un autovettore mica significa che c'è solo lui.

[leonardo_mutti]

Non ti capisco. L'asse è l'autospazio generato dall'autovettore associato all'autovalore 1.
Se l'autovettore è $v$ allora è la base che genera tutti i punti che stanno su $tv$ con t numero reale.
Questa è una retta e tutti i vettori che stanno su di essa sono autovettori di $lambda=1$.
Scegliere un autovettore mica significa che c'è solo lui.

Infatti la domanda originaria era come fosse possibile che ogni matrice ortogonale speciale $A$ fosse univocamente determinata da un angolo e da un asse (dato un asse e un angolo vi associo un'unica matrice in $\text{SO}(3)$).

Sapevo cos'era l'asse di rotazione di $A$, ora ho capito cos'è l'angolo: viene definito tenendo conto di quale verso attribuisci all'asse.

Dunque, per definire univocamente una matrice ortogonale speciale, non serve anche un orientazione dell'asse, oltre che all'asse e all'angolo?

[leonardo_mutti]

Si, infatti qui stiamo parlando di "asse" ma intendiamo sempre un vettore.

Il mio libro parla di asse come di autospazio di $1$, e dice che asse + angolo determinano unicamente una matrice in $\text{SO}(3)$. Siccome la definizione dell'angolo discende dal verso che scegli dell'asse, mi chiedevo come posso spiegare la proposizione del libro.

[leonardo_mutti]

Si, infatti qui stiamo parlando di "asse" ma intendiamo sempre un vettore.

Il mio libro parla di asse come di autospazio di $1$, e dice che asse + angolo determinano unicamente una matrice in $\text{SO}(3)$. Siccome la definizione dell'angolo discende dal verso che scegli dell'asse, mi chiedevo come posso spiegare la proposizione del libro.

Lo stesso articolo di Wikipedia che i hai girato recita infatti 'Technically, one needs to specify an orientation for the axis and whether the rotation is taken to be clockwise or counterclockwise with respect to this orientation'

L'orientazione oraria o meno non è un grosso problema, basta dichiararla in anticipo, il fatto è che si aggiunge il grado di libertà dato dal verso dell'asse.

[Bokonon]

Proviamo con un esempio. Fissa un asse e dimmi l'angolo di rotazione.
$ T=1/3( ( 2 , 2 , -1 ),( -1 , 2 , 2 ),( 2 , -1 , 2 ) ) $

[leonardo_mutti]

Proviamo con un esempio. Fissa un asse e dimmi l'angolo di rotazione.
$ T=1/3( ( 2 , 2 , -1 ),( -1 , 2 , 2 ),( 2 , -1 , 2 ) ) $

$v'=(1,1,1)$ è autovettore di $T$ secondo l'autovalore $1$. Creo $v=1/\sqrt(3)v'$.

L'unico asse è $\text{span}(v)$.

Un vettore ortogonale a $v$ è $w=\sqrt(2/3) (1/2,1/2,-1)$. $u=1/\sqrt(2) (1,-1,0)$ rende $\{v,w,u\}$ una base ortonormale.

Ora scelgo il verso dell'asse:
(a) $+v$
1 - scelgo $\{v,w,u\}$ come base ortonormale, allora in questa base $T$ diventa $ ( ( 1 ,0 , 0 ),( 0, 1/2, -\sqrt(3)/2),( 0 , \sqrt(3)/2 , 1/2 ) ) $. Quindi l'angolo è $\pi/3$
2 - scelgo $\{v,u,w\}$ come base ortonormale, [...], l'angolo è $-\pi/3$
(b) $-v$
1 - scelgo $\{-v,w,u\}$ come base ortonormale, [...], l'angolo è $-\pi/3$
2 - scelgo $\{-v,u,w\}$ come base ortonormale, [...], l'angolo è $\pi/3$

(spero di non aver commesso errori di calcolo)

[Bokonon]

Angolo e asse sono ok, ma nessuno ti chiede di trovare una base. Non è necessaria. Applica la formuletta. Una volta scelto il verso, stabilisci che la rotazione è antioraria. Se poi fai la stessa cosa per $T^(-1)=T^T$ avrai il medesimo asse ma rotazione oraria.

Studi fisica, quante volte hai scelto un sistema di riferimento arbitrario per risolvere gli esercizi?
E quale principio ti garantisce che non esista un sistema preferenziale?
Se ti dico che l'asse della terra è inclinato, la prima domanda che mi poni qual è?

Infine, alla matrice non interessa nulla del verso, conosce solo la direzione dell'asse. Quindi a quella rotazione corrisponde una sola matrice di SO(3): lei vede solo l'autospazio e l'angolo di rotazione.

Ci saranno esercizi in cui ti danno un sistema di riferimento, altri in cui lo deciderai tu come sempre.
Quando ho scritto che una volta fissato un verso hai una rotazione, lo intendevo letteralmente.

Prova ad usare la formuletta e ti risparmi di definire il sistema completo.