Esercizio:
Cos'è una topologia co-finita su un insieme finito? Dimostra che una topologia co-finita su un insieme infinito non è Hausdorff.
Allora sia \( (X,\tau_F ) \) uno spazio topologico dove \( \tau_F \) è una topologia co-finita e \( X \) è finito. Abbiamo che \( \forall U \subset X \) allora \( U \in \tau_F \) se e solo se \( X \setminus U \) è finito, pertanto \( \tau_F = \mathcal{P}(X) \) e pertanto è \( (X,\tau_F) \) è una topologia discreta. Quindi evidentemente è di Hausdorff.
Avete qualche suggerimento su come posso dimostrare che se \( X \) è infinito allora non è di Hausdorff?
Edit: cioé intuitivamente ci sono nel senso che ogni insieme tale che \( x_1 \in U_1 \) e \( x_2 \in U_2 \) aperti (quindi dentro la topologia), allora siccome \( X \setminus U_1 \) e \( X \setminus U_2 \) sono finiti, vuol dire che \( U_1 \cap U_2 \neq \emptyset \), però non riesco a dimostrarlo in modo formale e preciso!
In generale:
Sbaglio o una topologia è un modo per definire cosa vuol dire insieme aperto su un insieme \(X \)?
È vero che ogni sottoinsieme di \( X \) aperto è dentro la topologia, e tutti gli elementi della topologia sono aperti?
Immagino che una topologia da molte piu informazioni e non solo cosa si intende per aperto, vero?