Molte volte trovo definizioni che non mi aiutano
nella comprensione della materia. Pensavo di
aver capito la definizione di copertura lineare
e riesco a svolgere gli esercizi. Ma la definizione
di "più piccolo sottospazio" non riesce a fornirmi
valore aggiunto. Il mio prof. spiega: "Sia ora $S$
un sottinsieme di $V$. Diremo "sottospazio
generato da $S$" il sottospazio intersezione di
tutti i sottospazi di $V$ che contengono $S$.
Indicheremo con $L(S)$ il sottospazio generato
da $S$. Risulta del tutto evidente che $L(S)$ è
"il più piccolo" sottospazio di $V$ che include $S$".
Se debbo fornire qualcosa di geometrico alla mia
immaginazione, non riesco a pensare ad altro che
a un vettore passante per l'origine. E' evidente
che la sua copertura altro non possa essere che
la retta che lo contiene, che è un sottospazio.
E' il più piccolo? In realtà, sì, perché tutti gli altri
sottospazi che riesco a immaginare sono piani per
l'origine (che costituiscono la copertura lineare di
almeno due vettori passanti per l'origine), che
rappresentano il fascio di piani che passa per la
retta detta. Quindi la retta detta ne costituisce
l'intersezione ... Ma $S$ come sottinsieme formato
da un solo vettore, che fornisce la retta, ed $S_i$,
che è il generico sottospazio di $V$ formato dai due
generici vettori che formano il generico
piano-sottospazio sono, evidentemente, diversi ...
Si tratterebbe, anche, di un'inclusione insiemistica
propria.
La retta ha $dim 1$ e i piani $dim 2$.
Si parla, infatti, di "tutti i sottospazi di $V$ che
contengono $S$". E tutti gli $S_i$ così immaginati
lo sarebbero. Esistono altri esempi "concreti" corretti?
E' questo il potere esplicativo della definizione riferita?
Qualcuno, gentilmente, può darmi una mano? Grazie $oo$!