Consideriamo il gruppo simmetrico \(S_n \) per \( n \geq 1 \).
(a) Sia \( \omega \in S_n \) e \( \tau =(i_1 i_2 \ldots i_k) \) un k-ciclo per \( k \leq n \). Calcolare \( \omega \tau \omega^{-1} \)
(b) Calcolare \( Z(S_n)= \{ \omega \in S_n | \omega \tau = \tau \omega, \forall \tau \in S_n \} \).
Edit:
Allora nel punto (a) ho dimostrato che \( \omega \tau \omega^{-1} = (\omega(i_1) \omega( i_2) \ldots \omega(i_k))\).
Il punto (b) lo svolgo così dunque
\( \tau = (i_1 i_2 \ldots i_k) \), notiamo che \(k \leq n \) siccome \( \tau \in S_n \). Pertanto abbiamo che
\( \omega \in Z(S_n) \) se e solo se \( \omega (i_1 i_2 \ldots i_k) \omega^{-1}= (i_1 i_2 \ldots i_k) \)
Per il punto (a) segue che \( \omega = id \).
Le soluzioni invece mi dicono che con \(n=1,2 \) allora \( Z(S_n)= S_n \), e quindi non capisco dove sta il mio errore nella dimostrazione.