Esercizi su un endomorfismo

[RP-1]

Buonasera,
vorrei proporvi il seguente esercizio articolato in più punti, alcuni dei quali non mi sono affatto chiari:


Sia $f:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo definito da $f"("(x,y,z,t)")"=(-2x+3y, 4x-6y-2z+t,10z-5t,2z-t)$:

1)Determinare una base e la dimensione di $Ker(f)$ ed $Im(f)$. Completare la base scelta in $Im(f)$ a base di $RR^4$;

2)Posto $U={(x,y,z,t):2x+9y-3z=0,2x+3t=0}$, determinare una base e la dimensione dei sottospazi di $RR^4$ $Im(f)nnU e Im(f)+U$;

3)Determinare la controimmagine del vettore $v=(0,8,4h,h+2)$ al variare del parametro reale $h$;

4)Trovare, se esistono, i valori del parametro $h$ per i quali $[e_1-e_2,3e_1+e_4,v,e_3]$ sia una base di $RR^4$, essendo $\epsilon = (e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonica di $RR^4$;

5)Indicata con $A$ la matrice $M_(\epsilon\epsilon)(f)$ associata ad $f$ rispetto alla base canonica, stabilire se $A$ risulta diagonalizzabile e, in caso affermativo, determinare una matrice $P$ diagonalizzante e la corrispondente matrice diagonale $D$ alla quale $A$ risulta essere simile;



Per quanto riguarda il primo punto, non ci sono dubbi: calcolo il rango della matrice associata all'endomorfismo:
$rk((-2,3,0,0),(4,-6,-2,1),(0,0,10,-5),(0,0,2,-1))=2$
da cui ottengo $dim(Ker(f))=n-rk(A)=2$ e $B_(Ker(f))={(1,1/3,0,0),(0,0,1,2)}$ ottenuta risolvendo il sistema lineare associato con due parametri. Inoltre, $dim(Im(f))=rk(A)=2$ e $B_(Im(f))={(-2,3,0,0),(4,-6,-2,1)}$. Per completare quest'ultima a base di di $RR^4$ basta aggiungervi i seguenti vettori della base canonica di $RR^4$: $(0,1,0,0),(0,0,1,0)$.


Invece, in merito al secondo punto, si ottiene $B_(Im(f)nnU)$ estraendo una base dal seguente sistema lineare:
$\{(-2x+3y=0),(4x-6y-2z+t=0),(2z-t=0),(2x+9y-3z=0),(2x+3t=0):}$
come fatto precedentemente per $B_(Im(f))$;
$B_(Im(f)+U)$ è ottenibile invece estraendo una base dal sistema di generatori $B_(Im(f))+B_U$, dico bene?


Non mi soffermo sul quarto perché piuttosto banale.


Ho invece grosse difficoltà a comprendere il 3 ed il 5. Suggerimenti?
Grazie in anticipo!

[RP-1]

Errore mio, nella fretta ho confuso il determinante con il rango. Correggo subito.

[RP-1]

Innanzitutto ti ringrazio per il tempo che mi stai dedicando. C'è però qualche incomprensione:

ho notato che ho commesso un altro errore di battitura: ho inserito una virgola non voluta nella prima equazione dell'endomorfismo $-2x+3y$. Ho corretto; essendo il post piuttosto lungo ho scritto con fretta, mi scuso per questi errori.


Ad ogni modo, per quanto riguarda il nucelo, ho commesso un mero errore di calcolo:

Per il teorema di Rouché-Capelli, il seguente sistema lineare ammette due soluzioni:
$\{(-2x+3y=0),(4x-6y-2z+t=0),(10z-5t=0),(2z-t=0):}$
Pertanto, essendo quattro le variabili, pongo $x=\alpha$ e $z=\beta$, da cui si ha:
$\{(x=\alpha),(z=\beta),(y=2/3\alpha),(t=2\beta):}$ [Avevo erronamente calcolato $y=1/3\alpha$].
Per tanto, il primo vettore della base del nucleo è $(1,2/3,0,0)$.

Per quanto invece riguarda l'immagine, se il rango della matrice è $2$, allora sono $2$ i vettori linearmente indipendenti che posso estrarre dal sistema per costruirne una base, ho preso rispettivamente la prima e la seconda riga. Qui non vedo l'errore.

[RP-1]

Il sistema $Ax=0$ non ammette due soluzioni, ne ammette un'infinità dipendente da due parametri. Ora la base del nucleo va bene.

Chiaramente il sistema ne ammette $infty^2$, scusami per l'errore.

Per quanto riguarda l'immagine, se ho capito dove sbaglio, dovrei estrarre una base dal sistema di generatori dato dalle colonne della matrice associata all'endomorfismo, giusto? Quindi dovrebbe essere $B_(Im(f))={(3,-6,0,0),(0,-2,10,2)}$, dico bene?

[RP-1]

In effetti il concetto di base di intersezione e somma non mi è chiarissimo.

Da quel che ho capito, per quanto riguarda l'intersezione, metto a sistema le equazioni cartesiane del sottospazio $U$ con quelle dell'endomorfismo, risolvo il sistema con il teorema di Rouché-Capelli ed estraggo una base. Invece, per la somma, estraggo una base dalla matrice le cui colonne sono i vettori di $B_(Im(f))$ e $B_U$, in sostanza dal sistema di generatori ottenuto unendo le due basi. Dico bene?

[Bokonon]

@RP-1 Dici bene.
Però non hai completato il punto 2. Devi completare la base dell'immagine, ovvero trovare due vettori perpendicolari all'immagine.

Inoltre, scegli dei vettori semplici...per esempio i vettori della base dell'immagine puoi dividerli entrambi per 2.

Troverai che due vettori perpendicolari all'immagine (i più "semplici" possibili) sono (2,1,0,1) e (0,0,1,-5).
Da cui derivi immediatamente le equazioni cartesiane dell'immagine stessa da mettere a sistema, ovvero:
$2x+y+t=0$ e $z-5t=0$

Risolvendo il sistema avrai che l'intersezione è una retta generata dal vettore (-3,4,10,2).

Successivamente dovrai correggere il punto 3 perchè il vettore parametrico non può avere 5 componenti.

[RP-1]

@RP-1 Dici bene.
Però non hai completato il punto 2. Devi completare la base dell'immagine, ovvero trovare due vettori perpendicolari all'immagine.

Inoltre, scegli dei vettori semplici...per esempio i vettori della base dell'immagine puoi dividerli entrambi per 2.

Troverai che due vettori perpendicolari all'immagine (i più "semplici" possibili) sono (2,1,0,1) e (0,0,1,-5).
Da cui derivi immediatamente le equazioni cartesiane dell'immagine stessa da mettere a sistema, ovvero:
$2x+y+t=0$ e $z-5t=0$

Risolvendo il sistema avrai che l'intersezione è una retta generata dal vettore (-3,4,10,2).

Successivamente dovrai correggere il punto 3 perchè il vettore parametrico non può avere 5 componenti.

Grazie per l'intervento, ho corretto il testo, ennesimo errore di battitura.
Per quanto riguarda il completamento di $B_(Im(f))$, ti sarei veramente grato se mi spiegassi qual è il procedimento più efficiente per trovare i vettori da aggiungere.
Solo non mi è chiaro perché derivi le equazioni cartesiane dell'immagine dai vettori utilizzati per il suo completamento. Non dovrei estrarle direttamente dalla base che ho calcolato precedentemente?

Grazie in anticipo!!

[RP-1]

Qui $U$ ti è dato dal testo in equazioni cartesiane, mentre $V$ è l'immagine di $f$. Tu hai determinato poco fa l'immagine di $f$; ma non tramite equazioni cartesiane, bensì trovandone una base. Quindi ora devi trovare l'equazioni cartesiane di di \(\mathrm{Im}(f)\) e poi metterle a sistema con quelle di $U$.

Le equazioni cartesiane che tu stavi usando sono quelle di \(\mathrm{ker}(f)\), che è ben altra cosa.

Chiarissimo, ho commesso un grave errore di valutazione. Ti ringrazio per avermelo fatto notare, tra l'altro ora ho ben chiara la differenza tra base del nucleo e base dell'immagine.

[RP-1]

Quindi dalla base canonica riuscirei in ogni caso ad estrarre i vettori lin. ind. necessari al completamento?

[RP-1]

Grazie per la delucidazione, mi tornerà sicuramente utile. Mi sapresti dare qualche indicazione anche sul terzo punto? Non so proprio da dove iniziare...