Esercizi su un endomorfismo

[Bokonon]

Ma è ovvio che sia così. Le soluzioni di un sistema costituiscono l'immagine di un'applicazione.
Continuo a non capire di cosa tu ti stia sbalordendo. Quindi partendo dall'applicazione $Ax$ NON puoi trovare un'immagine che non abbia una controimmagine.
Completando invece lo spazio di arrivo puoi derivare tutti i vettori che non appartengono all'immagine (e ti ho messo un link ad un video che non hai evidentemente guardato).
In Italia ti fanno studiare solo il kernel e l'immagine di un'applicazione, Strang invece da una visione geometrica dei 4 spazi fondamentali con cui interpretare rapidamente qualsiasi applicazione lineare.
E con questo direi che usciamo dal loop.

[RP-1]

Convengo assolutamente con te sull'importanza di comprendere profondamente un concetto matematico per poterlo applicare con criterio. Dovendo però sostenere lo scritto di algebra lineare a breve, mi sto soffermando esclusivamente sulla pratica. So bene che questa pratica sia del tutto sconsigliata, ma spesso ci si trova a dover fare il possibile per non restare indietro, soprattuto con le finestre d'esame ristrette che il mio ateneo offre. Scusami pertanto se sono sembrato eccessivamente pragmatico e mille grazie per avermi aiutato.

Ciò detto, avrei un'altra domanda sul quinto punto:
Nella costruzione della matrice diagonale simile alla matrice diagonalizzabile, c'è un ordine preciso da rispettare nel posizionare gli autovalori sulla diagonale principale, o è del tutto arbitrario? Più banalmente, la matrice dell'esercizio in questione ha tre autovalori:

$\lambda_0=0" (con "m_a(\lambda_0)=2); \lambda_1=-8; \lambda_2=9$;

come li dispongo sulla matrice diagonale simile?

[Bokonon]

Nella costruzione della matrice diagonale simile alla matrice diagonalizzabile, c'è un ordine preciso da rispettare nel posizionare gli autovalori sulla diagonale principale, o è del tutto arbitrario? Più banalmente, la matrice dell'esercizio in questione ha tre autovalori:

$\lambda_0=0" (con "m_a(\lambda_0)=2); \lambda_1=-8; \lambda_2=9$;

come li dispongo sulla matrice diagonale simile?

Come vuoi, è arbitrario.
L'unica cosa importante è la prima colonna di P sia un'autovettore per l'autovalore che metti nella prima riga/colonna della matrice D. La seconda colonna di P sia un'autovettore per l'autovalore che metti nella seconda riga/colonna della matrice D. E così via.
Prova ordini diversi e a verificare che $AP=PD$

[RP-1]

Avrei un'altra domanda, piuttosto banale:
cosa indica la notazione $X = t(x y z)$ con t apice?

[Bokonon]

Se devo tirare ad indovinare il t in apice significa la trasposta.
Qualcuno lo mette in minuscolo a sinistra. Più comunemente si mette $A^T$ a destra.
Ma sarebbe meglio se tu contestualizzassi la cosa.