Buonasera, c'è un teorema che stabilisce che $A_1,...,A_n$ sono dipendenti se e solo se $det(A_1,...,A_n)=0$.
Leggendo la dimostrazione del professore sulla condizione sufficiente, dopo aver detto che $A_1,...,A_n$, essendo indipendenti (per assurdo), sono una base di $\RR^n$ ed aver utilizzato la linearità rispetto alle colonne del determinante, si ottiene $(a_{1_{i_1}}a_{2_{i_2}}...a_{n_{i_n}}det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})$ (utilizzando la convenzione di Einstein). A questo punto dice che "i determinanti a secondo membro sono nulli o perchè $i_h$ e $i_k$ coincidono, e dunque due colonne sono uguali, oppure sono tutti distinti, ed allora le colonne $A_{i_1},...,A_{i_n}$ si possono permutare fino ad ottenere $A_1,...,A_n$".
Ma cosa significa che $i_h$ e $i_k$ coincidono e che le colonne $A_{i_1},...,A_{i_n}$ si possono permutare fino ad ottenere $A_1,...,A_n$?? So che se due colonne sono uguali il determinante è $0$ oppure che possono essere scambiate due colonne, ma non capisco cosa vogliano dire in questo contesto.
Inoltre aggiunge "Poichè $det(A_1,...,A_n)=0$, anche $det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})=(-1)$ (numero di scambi) $det(A_1,...,A_n)=0$". Ma cosa significa?? Perchè quel $-1$? Perchè ripete due volte $det(A_1,...,A_n)=0$"?