Retta affine incidente a 2 rette date e passante per un punto

[john_titor20]

Salve, vorrei sapere se possibile dove l'esercizio che ho svolto presenta errori.
La traccia chiede di determinare una retta affine q incidente a due rette date e passante per il punto $P(0, -1, 0, 1)$
le due rette sono $r$: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} x=1-a &\\ y=-1-a &\\ z=a &\\ t=a & \end{array}\right.\) e $s$: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} x=-1-a &\\ y=3+a &\\ z=3+a &\\ t=a & \end{array}\right.\)

Io ho pensato di risolverlo in questo modo:
Considerando che i numeri direttori di $r$ sono$(-1, -1, 1, 1)$ e di $s$ sono $(-1, 1, 1, 1)$ un piano $pi_1$ contenente $r$ e passante per $P$ è $pi_1:-t-x+y+z=0$ e un piano $pi_2$ passante per $s$ e contenente $P$ è $-t+x+y+z=0$ e di conseguenza la retta $q$ risulterebbe essere \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} -t-x+y+z=0&\\ -t+x+y+z=0 &\\ & \end{array}\right.\).
Che poi potrebbe essere scritta come \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} z=-y+x+t &\\ t+z=0 &\\ & \end{array}\right.\)?

Tutto ciò perché ho verificato che le due rette erano già sghembe

[j18eos]

Purtroppo è errato (basta usare Rouché-Capelli per rendersi conto che dimensionalmente non vanno bene le varietà lineari trovate E.g.: quella \(\displaystyle q\) trovata è un piano ).

Suggerimento: per trovare il piano \(\displaystyle\pi_1\) servono due vettori, uno sicuramente è il vettore dei numeri direttori di \(\displaystyle r\), l'altro si potrebbe ricavare congiungendo \(\displaystyle P\) con \(\displaystyle r\) mediante un opportuno vettore libero. Ricordando che servono due punti per determinare un vettore libero...

Analogo discorso per determinare \(\displaystyle\pi_2\)!

[john_titor20]

(riscrivo le rette per una mia comodità visiva)
$r$: \( \displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} x=1-a &\\ y=-1-a &\\ z=a &\\ t=a & \end{array}\right. \)
$s$: \( \displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} x=-1-a &\\ y=3+a &\\ z=3+a &\\ t=a & \end{array}\right. \)
$P (0, -1, 0, 1)$

Sostituendo $0$ al posto di $a$ trovo due punti $B_r$ $(1, -1, 0, 0)$ e $C_s$ $(-1, 3, 3, 0)$
da cui i due vettori \(\displaystyle v=[P-B_r]_\equiv = (-1, 0, 0,1) \) e \(\displaystyle w=[P-C_s]_\equiv = (1, -4, -3, 1) \).
Di conseguenza gli spazi affini relativi a $pi_1$ e $pi_2$ risultano essere:
\(\displaystyle L_{pi1} =\langle (-1, -1, 1 ,1), (-1, 0, 0, 1)\rangle = {(-\alpha - \beta, -\alpha, \alpha, \alpha+\beta)\in R^4 | \alpha, \beta \in R} \)
e
\(\displaystyle L_{pi2} =\langle (-1, 1, 1 ,1), (1, -4, -3, 1)\rangle = {(-\alpha + \beta, \alpha -4 \beta, \alpha -3 \beta, \alpha+\beta)\in R^4 | \alpha, \beta \in R} \)

$pi_1$ = \( \displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} x=-\alpha -\beta+0 &\\ y=-\alpha-1 &\\ z=\alpha+0 &\\ t=\alpha+\beta+1 & \end{array}\right. \) che diventa \( \displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} x+t=1 &\\ y+z=-1 &\\ & \end{array}\right. \)

$pi_2$ = \( \displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} x=-\alpha +\beta+0 &\\ y=\alpha-4 \beta-1 &\\ z=\alpha -3\beta+0 &\\ t=\alpha+\beta+1 & \end{array}\right. \) che diventa \( \displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} x=-z+4t-4 &\\ y=2z-t &\\ z=t-\beta-1 &\\ t=\alpha+1 & \end{array}\right. \)

Ora sempre se tutto ciò è corretto dovrei mettere a sistema $pi_1$ e $pi_2$ per trovare la retta $q$ ?
E in tal caso ad $\alpha$ e $\beta$ devo sostituire dei valore da me scelti?

[j18eos]

Il ragionamento è ora (quasi) corretto;

non ho controllato i calcoli, e di sicuro in una rappresentazione cartesiana non compaiono più i parametri (è da correggere la rappresentazione di \(\displaystyle\pi_2\)).

Poi, come scritto, sono da mettere a sistema i piani determinati; e trovare la retta intersezione dei due.

[john_titor20]

Ho ricontrollato i calcoli relativi a $pi_2$ e se ora sono corretti esso diventa:
$pi_2$ =\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} 2t=-5z+2y+4 &\\ 2x=3z-y-1 & \end{array}\right. \)

e dalla loro intersezione esce la retta $q$ =\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} t-1=0 &\\ y+1=0 & \end{array}\right. \)
La ringrazio nuovamente per l'aiuto che mi ha dato, grazie mille

[j18eos]

Quella varietà lineare affine \(\displaystyle q\) è un piano!

Ci dev'essere qualche errore di calcolo nell'intersezione \(\displaystyle\pi_1\cap\pi_2\)...

[john_titor20]

Ho controllato e ricontrollato i calcoli più volte ma non riesco a trovare l’errore

[j18eos]

Il calcolo di \(\displaystyle\pi_1\) è corretto; \(\displaystyle\pi_2\) è errato, poiché le coordinate di \(\displaystyle C_s\) non soddisfano le equazioni trovate di \(\displaystyle\pi_2\)...

Riporto i calcoli della rappresentazione cartesiana di \(\displaystyle\pi_2\):
\[
\begin{cases}
x=\alpha+\beta\\
y=-1+\alpha-4\beta\\
z=\alpha-3\beta\\
t=1+\alpha+\beta
\end{cases}\\
\begin{cases}
\beta=t-1-\alpha\\
x=-\alpha+t-1-\alpha\\
y=-1+\alpha-4t+4+4\alpha\\
z=\alpha-3t+3+3\alpha
\end{cases}\\
\begin{cases}
x-t+1=-2\alpha\\
y+4t-3=5\alpha\\
z+3t-3=4\alpha
\end{cases}\\
\begin{cases}
\displaystyle\alpha=-\frac{1}{2}(x-t+1)\\
\displaystyle y+4t-3=-\frac{5}{2}(x-t+1)\\
z+3t-3=-2(x-t+1)
\end{cases}\\
\begin{cases}
2y+8t-6=-5x+5t-5\\
z+3t-3=-2x+2t-2
\end{cases}\\
\begin{cases}
5x+2y+3t=1\\
2x+z+t=1
\end{cases}.
\]

[john_titor20]

ok grazie mille.
quindi ora studiando la loro intersezione troverò la la retta $q$

[j18eos]

Esatto... trovato l'errore? Compreso qualche trucco per verificare i risultati ottenuti?