Siano \(A\) e \(B\) matrici reali di ordine \(3\) tali che \(A + BA = I\). Giudicare se sono veri o falsi i seguenti enunciati.
- Se \(A\) è diagonalizzabile, pure \(B\) lo è.
- Se \(A\) è ortogonale, allora \(B\) è normale.
Un'osservazione preliminare: per il teorema di Binet si ha \(\det(A + BA) = \det(B+I)\det A = 1\) e quindi \(\det A \ne 0\), ovvero \(A\) è invertibile.
Primo. Sia \(A\) è diagonalizzabile, ovvero simile ad una diagonale, che chiamerò \(\Delta\): esiste quindi una matrice quadrata \(3 \times 3\) invertibile \(P\) tale che \(A = P^{-1} \Delta P\). Pertanto \[
P^{-1} \Delta P + BP^{-1} \Delta P= P^{-1} P \iff B P^{-1} \Delta P = P^{-1}(I-\Delta) P.
\] Moltiplicando per \(P^{-1}\) a destra e \(P\) a sinistra, ho\[
P B P^{-1} \Delta = I - \Delta.
\] Ora per l'invertibilità di \(A\) si ha che pure \(\Delta\) è invertibile, e quindi \[
P B P^{-1} = \Delta^{-1} - I.
\] Inoltre l'inversa di una matrice diagonale è pur sempre una matrice diagonale. L'asserto pertanto mi sembra vero, visto che la differenza di matrici simmetrica è ancora una matrice simmetrica.
Secondo. Moltiplicando a destra per \({}^tA\) i membri di \((B+I)A = I\) ed assumendo che \(A{}^tA = {}^tAA = I\), si ha che \[
B+I = {}^tA \iff B = {}^tA-I.
\] Valutando \({}^tB B\) e \(B{}^tB\), ho che sono entrambe uguali a \(2I-A-{}^tA\), e qundi uguali. La matrice \(B\) è normale, e l'affermazione mi sembra vera anche in questo caso.
Può andare?