Stavo cercando un po' per passatempo due spazi topologici \( (X,\tau_1 ) \) e \( (Y,\tau_2 ) \) e una funzione \( f: X \to Y \) tale che per ogni \( \forall x \in X \) e per ogni successione \( (x_n) \in X \) tale che \( x_n \to x \) abbiamo allora \( f(x_n) \to f(x) \) ma al contempo \( f \) è discontinua. Chiaramente almeno uno dei due spazi non dev'essere metrico, pensavo di usare la topologia indiscreta e rispettivamente quella discreta su \( \mathbb{R} =X=Y\) e l'identità. Abbiamo che l'identità è discontinua, però per ogni \( x \) di \( \mathbb{R} \) con la topologia indiscreta abbiamo che ogni successione converge a \( x \), e quindi non non abbiamo la condizione che \( f(x_n)=x_n \to f(x)=x \) nella discreta per ogni successione tale che \( (x_n) \to x \) nella indiscreta. Che topologie potrei utilizzare?
Al contempo mi domandavo se esiste una funziona e due spazi topologici tale che \( f \) è continua ma esiste \( x_0 \in X \) tale che \( \lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0) \).
Pensavo in questo caso di utilizzare \( f: ( \mathbb{R}, \tau_{E} ) \to ( \mathbb{R}, \tau) \) dove \( \tau_E \) è la topologia euclidea mentre \( \tau \) è la topologia delle semirette ovvero \( \tau := \{ \emptyset, \mathbb{R} \} \cup \{ R_y : y \in \mathbb{R} \} \) dove \( R_y := \{ x >y \} \), e la funzione \( f(x) = x^2 \)
Abbiamo infatti che \( \lim_{x \to 0 } x^2 = k \), \( \forall k \in \mathbb{R}_- \) e abbiamo che \( f(0)=0 \)
e credo che \( x^2 \) sia continua. Alternativamente anche qui credo vada bene l'identità \( f(x) = x \).
Ma non sono sicuro che sia corretto, anche perché so che l'implicazione inversa della mia domanda precedente è vera. Ovvero se \( f \) continua su \(X \) allora per ogni \( x \in X \) e per ogni successione \( (x_n) \) tale che \( x_n \to x \), allora \( f(x_n) \to f(x) \).
Pertanto se esiste un \(x_0 \) tale che \(f \) continua in \(x_0 \) e \( \lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0 ) \) implica che \( \lim_{n \to \infty} f(x_n) \neq \lim_{x \to x_0} f(x) \), per ogni successione \((x_n) \) tale che \( x_n \to x_0 \), il che mi sembra strano.