retta parallela ad un piano, sghemba con r e s

[john_titor20]

Salve a tutti, vorrei avere per favore un aiuto su quest'esercizio:
Considerata la retta $r$: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} 2x-t=0 &\\ 3z+2y=1 &\\ x+y=-1 & \end{array}\right.\)
Determinare
a) una retta $s$ e un piano $pi$, entrambi ortogonali a $r$ ed aventi $(0, 0, -1, 1)$ come unico punto in comune
b) una retta $q$ parallela a $pi$, sghemba con r e s

Ora per il punto a credo di averlo risolto bene (o almeno spero, anche se non sono sicuro) eseguendo i seguenti passaggi:

Ho trovato prima il piano \(\displaystyle pi\perp r \)
Siccome i numeri direttori di $r$ risultano essere da \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} t=2a &\\ x=a &\\ y=-1-a &\\z=1+2/3 a & \end{array}\right.\) $(2, 1, -1, 2/3)$
il piano \(\displaystyle pi\perp r \) sarà $2t+x-y+2/3 z-5/3=0$
mentre la retta \(\displaystyle s\perp r \) mi trovo omettendo i calcoli (anche perché credo sia sbagliata)
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} y=-1 &\\z=1 & \end{array}\right.\)

Per il punto b non ho proprio idea di come fare, so solo che \(\displaystyle q\parallel pi \) se la loro intersezione è nulla e che le rette $r$ e $s$ saranno sghembe a $q$ se intersecate con $q$daranno intersezione nulla e che non devono essere parallele a $q$

[j18eos]

...il piano \( \displaystyle pi\perp r\) sarà $ 2t+x-y+2/3 z-5/3=0 $...

Sicuramente queste varietà lineari affini sono perpendicolari; ma che dimensione ha \(\displaystyle pi\)?

Tornando alle richieste dell'esercizio, quale può essere lo spazio direttore di \(\displaystyle\pi\)? Come lo si calcolerebbe?

[john_titor20]

La dimensione di $pi$ dovrebbe essere $2$ essendo un piano.
Lo spazio direttore di \( \displaystyle\pi \) invece dovrebbe essere $(2, 1, -1, 2/3)$? O sto facendo confusione con altro?

[Bokonon]

Secondo me sei cotto... Armando ti sta facendo lavorare troppo
Una retta in $RR^3$ è data dall'intersezione di due piani.
In $RR^4$ invece dall'intersezione di 3 iperpiani (e infatti hai tre equazioni di 3 iperpiani di dimensione 3).

Un piano in $RR^4$ è dato dall'intersezione di 2 iperpiani.

Ora, hai trovato la direzione della retta r (e potresti moltiplicarla per 3 per togliere quell'orribile frazione).
La retta $r$ essendo intersezione dei 3 iperpiani è contenuta da tutti e 3.
I coefficienti dei tre iperpiani non sono altro che le direzioni perpendicolari ai rispettivi iperpiani.
Quindi (come potrai verificare da te) sono perpendicolari anche alla retta r.

Quindi hai ben 3 direzioni già belle e pronte per definire un piano e una retta perpendicolari alla retta $r$...usale.
E visto il secondo punto del problema, io userei due direzioni per il piano $pi$ e la terza per la retta $s$.
Sommi il punto alle combinazioni lineari e ottieni due forme parametriche che soddisfano la richiesta.
Da la troverai le forme cartesiane.

[j18eos]

Secondo me sei cotto... Armando ti sta facendo lavorare troppo [...]

Mi sono impegnato a farli lavorare il giusto.

[...]Una retta in $ RR^3 $ è data dall'intersezione di due piani.
In $ RR^4 $ invece dall'intersezione di 3 iperpiani (e infatti hai tre equazioni di 3 iperpiani di dimensione 3).

Un piano in $ RR^4 $ è dato dall'intersezione di 2 iperpiani. [...]

In breve: basta ri-leggere Rouché-Capelli in chiave geometrica, e si capisce sùbito (e più in generale) "quante equazioni ci servono".

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Non ho spiegato a lezione il legame tra ortogonalità e coefficienti...

Un'altra possibile soluzione, consiste nel trovare le direzioni ortogonali al vettore \(\displaystyle\underline{\lambda}_r=(6,3,-3,2)\); ovvero determinare una base dello spazio vettoriale
\[
\langle\underline{\lambda}_r\rangle^{\perp}=\{\underline{v}\in\mathbb{R}^4\mid\underline{v}\cdot\underline{\lambda}_r=0\},
\]
e poi procedere come ha indicato Bokonon.

[Bokonon]

@j18eos
Beh anche loro potrebbero realizzare da soli che un'equazione non è altro che un sistema omogeneo
$(c_0, c_1,..., c_n)^T(x_1, x_2,...,x_n)=0$
e il resto è una traslazione.
Ma forse la ragione per cui non lo vedono è perché pare quasi che in Italia si vogliano tenere nascoste le visioni geometriche (sono polemico!).
Ogni tanto, magari, fare un riepilogo puramente geometrico non guasterebbe imho (vedi il thread sulla norma, in cui lo studente non vede neppure più l'idea di fondo dell'algebra lineare come strumento per "isomorfismo").

[j18eos]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Più di affermare a ogni lezione che l'algebra lineare la si usa per fare geometria, e strutturare tutta la geometria affine sugli spazi vettoriali: non mi sono venute altre idee...

Si arriva all'esame, e pretendo che si faccia l'uso di sopra; se poi si vogliono ostinare a ragionare in \(\displaystyle\mathbb{E}^3\), ignorando l'interpretazione geometrica di Rouché-Capelli in dimensione qualsiasi: io boccio.

...e se vuoi proseguiamo in privato.

[john_titor20]

Le 3 direzioni dovrebbero dunque essere $(-1, 2, 0, 0)$, $(0, 0, 2, 3)$ e $(0, 0, 1, 1)$

Sommi il punto alle combinazioni lineari e ottieni due forme parametriche che soddisfano la richiesta.
Da la troverai le forme cartesiane.

Tuttavia non ho capito bene questo passaggio, forse per qualche mia laguna sulle combinazioni lineari, ma se utilizzo $(-1, 2, 0, 0)$ e $(0, 0, 2, 3)$ e somma il punto $(0, 0, -1, 1)$ ottengo \(\displaystyle t-2x+2y-3z=0 \)
che non è un fascio di piani?

[Bokonon]

$ ( ( t ),( x ),( y ),( z ) )=alpha( ( -1 ),( 2 ),( 0 ),( 0 ) )+beta( ( 0 ),( 0 ),( 2 ),( 3 ) )+( ( 0 ),( 0 ),( -1 ),( 1 ) ) $

Risolvendo il sistema ottengo due equazioni:
$ pi:{ ( 2t+x=0 ),( 3y-2z+5=0 ):} $

P.S. @armando

[john_titor20]

]Quindi hai ben 3 direzioni già belle e pronte per definire un piano e una retta perpendicolari alla retta r...usale.
E visto il secondo punto del problema, io userei due direzioni per il piano π e la terza per la retta s.

e dunque riprendendo ciò che mi hai detto qui la retta sarà data da
$ ( ( t ),( x ),( y ),( z ) )=gamma((0) , (0), (1), (1)) +( ( 0 ),( 0 ),( -1 ),( 1 ) ) $
e risolvendo il sistema dovrebbe uscire $z-y-2=0$
tuttavia prima mi hai detto

Una retta in $RR^3$ è data dall'intersezione di due piani.
In $RR^4$ invece dall'intersezione di 3 iperpiani (e infatti hai tre equazioni di 3 iperpiani di dimensione 3.

quindi c'è qualcos'altro che mi sfugge o ho sbagliato la retta?

E invece per il punto 2?