Ho urgente bisogno di rimuovere questi dubbi riguardo questa dimostrazione di Algebra.
L'enunciato è il seguente
Siano $f:V\rightarrow V$ e $g:V\rightarrow V$ endomorfismi diagonalizzabili
$V$ possiede una base di autovettori comuni a $f$ e $g \Leftrightarrow f∘g = g∘f $
L'implicazione $\Rightarrow$ è banale.
Per l'altra implicazione, considero $k_1 ... k_t$ autovalori distinti di $f$
essendo $f$ diagonalizzabile $\Rightarrow V = V_{k_1} \oplus ... \oplus V_{k_t}$
per ipotesi $f∘g = g∘f$ quindi vale $f(g(v)) = g(f(v)) = g(k_i v) = k_i g(v)$ $\forall v \in V_{k_i}$
e risulta $g(v)$ autovettore di $f$
Siano ora $\lambda_i ... \lambda_s$ autovalori distinti di $g$
essendo $g$ diagonalizzabile $\Rightarrow V = V_{\lambda_1} \oplus ... \oplus V_{\lambda_s}$
Ogni vettore di $V_{k_i}$ lo esprimo in unico modo come $v = v_1 + ... + v_s$ ($\star$)
con $v_j \in V_{\lambda_j}$ per $j = 1 ... s$
Procedo per induzione su $s$ volendo dimostrare che ogni $v_j$ appartiene a $V_{k_i}$
[s=1] $v = v_1$ quindi $v_1 \in V_{k_i}$
[s-1] Applico $g$ alla combinazione lineare $\star$ ottenendo
$g(v) = \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_s v_s$
nella stessa combinazione lineare moltiplico invece per $\lambda_1$ ad ambo i membri ottenendo
$\lambda_1 v = \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_1 v_s$
e faccio ora la differenza fra le due espressione ottenute
$g(v) - \lambda_1 v = (\lambda_2 - \lambda_1) v_2 + ... + (\lambda_s - \lambda_1) v_s$
* Poichè il vettore $g(v) - \lambda_1 v$ appartiene a $V_{k_i}$, per ipotesi di induzione si ha che
$(\lambda_2 - \lambda_1) v_2 \in V_{k_i} $ ... $(\lambda_s - \lambda_1) v_s \in V_{k_i}$
da cui segue che
$v_2 \in V_{k_i} $ ... $v_s \in V_{k_i}$
* Per la $\star$ ogni vettore di $V_{k_i}$ si esprime in unico modo come somma di un vettore di $V_{k_i}\cap V_{\lambda_1}$, uno di $V_{k_i}\cap V_{\lambda_2}$ ... uno di $V_{k_i}\cap V_{\lambda_s}$
Dunque $V_{k_i} = (V_{k_i}\cap V_{\lambda_1}) \oplus$ ... $\oplus (V_{k_i}\cap V_{\lambda_s})$
La dimostrazione procede poi nel considerare una base per ognuna delle intersezioni e mostrando che la loro unione forma una base di V formata da autovettori comuni a f e g
Domande:
1) La prima riguarda $\star$ ... perchè esprimiamo ogni vettore di $V_{k_i}$ in unico modo come somma di $s$ vettori e non invece come somma di $t$ vettori?
2) Riguarda la parte * ... perché il vettore $g(v) - \lambda_1 v$ appartiene a $V_{k_i}$ ?
3) Riguarda la parte * ... secondo quell'affermazione, allora $v_1 \in V_{k_i}\cap V_{\lambda_1}$ e così via fino a $v_s \in V_{k_i}\cap V_{\lambda_s}$ ... ma perchè?
Grazie in anticipo!