Spazi metrici e continuità della metrica

[Overflow94]

Sia $ X $ uno spazio metrico e $ d $ la sua metrica.

1) Dimostrare che $ d : X xx X -> RR $ è continua nella topologia che induce.

2) Dimostrare che la topologia indotta dalla metrica $ d $ è la meno fine in cui $ d $ sia continua.


Il punto (1) si può risolvere così considerando la controimmagine di un elemento della base di $ RR $ come $ (a,b) $. Se $(x, y)$ appartiene alla controimmagine possiamo costruire un intorno di $ (x, y) $ incluso nella contro immagine.

$ (x, y) in B_delta(y)xxB_delta(x) $, applicando ripetutamente la disuguaglianza triangolare si vede che il generico elemento di questo insieme soddisfa: $ d(x,y)-2delta < d(x',y') < d(x,y) +2delta $ . Prendendo $ delta = (min{d(x,y) -a, b-d(x,y)})/2 $ otteniamo un aperto incluso nella controimmagine. Qundi la controimmagine è un aperto e $ d $ è continua.

Chiamiamo $ T $ la topologia indotta dalla metrica $ d $. Per dimostrare il (2) bisogna mostrare che se in una topologia $ T' $ per $ X $ la funzione $ d $ è continua allora $ T sub T' $ (non strettamente). Come si potrebbe fare?

[j18eos]

1) Non vedo errori.

2) Io utilizzerei la proprietà universale della topologia prodotto: sai di cosa parlo?

[Overflow94]

Non so niente di algebra universale però googlando ho capito a cosa fai riferimento, grazie.

Se $d$ è continua anche la seguente funzione è continua in quanto composizione di funzioni continue:

$ f: X -> RR $
$ f(x) = d(x, x_0) $

Dove $ x_0 in X$ è fissato.

La contro immagine di $(-1, epsilon)$ è la palla aperta $B_d(x_0, epsilon)$ ($d$ nell'apice per sottolineare che non è quello della metrica che induce la topologia in questo caso) che quindi deve essere un aperto di $T'$. Facendo variare $epsilon$ e $x_0$ si vede che $T'$ possiede tutti gli elementi della base di $T$ e quindi deve essere più fine.

[vict85]

Non so niente di algebra universale però googlando ho capito a cosa fai riferimento, grazie.

Se $ d $ è continua anche la seguente funzione è continua in quanto composizione di funzioni continue:

$ f: X -> RR $
$ f(x) = d(x, x_0) $

Dove $ x_0 in X $ è fissato.

La contro immagine di $ (-1, epsilon) $ è la palla aperta $ B_d(x_0, epsilon) $ ($ d $ nell'apice per sottolineare che non è quello della metrica che induce la topologia in questo caso) che quindi deve essere un aperto di $ T' $. Facendo variare $ epsilon $ e $ x_0 $ si vede che $ T' $ possiede tutti gli elementi della base di $ T $ e quindi deve essere più fine.

Sì, direi che il discorso è corretto. Nel commento sul pedice, sembri presupporre che la topologia \(T'\) su \(X\) debba essere indotta da una metrica, ma non è così. L'unica cosa che stai supponendo è che \(X\times X\) abbia la topologia prodotto rispetto a quella topologia. Detto questo, la notazione va benissimo, il mio era solo un chiarimento.

[Overflow94]

Si ne sono cosciente ma mi sono espresso in un modo un po' ambiguo, grazie per la precisazione.

[vict85]

Un piccolo consiglio, quando cerchi di dimostrare la continuità puoi usare molte definizioni equivalenti. Ogni tanto è più facile usare una definizione invece che un'altra. Per esempio, nella dimostrazione del punto 1 io avrei usato la definizione di continuità puntuale che usa gli intervalli per eliminare il problema che il punto non si trovi al centro.

[j18eos]

@Overflow94 Neanch'io conosco l'algebra universale; comunque è tutto corretto!