Definizione di chart nozione varieta' topologica

[cianfa72]

ciao a tutti,

ho un dubbio sulla definizione di chart nell'ambito della nozione di varieta' topologica che si trova nei vari testi che ho consultato.

Assumiamo come definizione di chart quella di omeomorfismo locale tra la varieta' topologica $X$ e $RR^n$.

La definizione di omeomorfismo locale mi sembra richieda l'applicazione definita su $X$ (inteso come spazio topologico) mentre il dominio di definizione della chart e' in realta' solo un sottoinsieme aperto nella topologia di $X$.

Come dobbiamo intendere allora la definizione di chart ?

grazie.

[vict85]

Chart, in italiano, si traduce come carta. Insomma, suona strano usare tutti i termini in italiano meno quello.

Detto questo, una carta è un omeomorfismo da un aperto dello spazio topologico ad un aperto di \(\mathbb{R}^n\) per qualche \(n\). Non è nulla di più di quello. È il concetto di atlante che aggiunge la condizione di compatibilità delle carte.

[solaàl]

Come dici, la nozione di omeomorfismo locale richiede che la funzione sia definita totalmente; idealmente un omeomorfismo locale generalizza i rivestimenti.

Ma il fatto che due spazi topologici siano localmente omeomorfi non implica che esista un omeomorfismo locale tra loro; si tratta di un clash di nomenclatura sfortunato, che wikipedia non sembra capace di evitare, sebbene dica subito dpo che la nozione di omeomorfismo locale è più forte: non esiste un omeomorfismo locale dalla sfera a \(\mathbb R^2\) (credo che il motivo sia che un omeomorfismo locale deve essere un'equivalenza omotopica debole[1]).



[1] Lo dico meglio così mi ricordo di pensarci: in generale, se \(p : E \to B\) è un omeomorfismo locale, esso corrisponde a un fascio su B

Ora, prendi la mappa indotta da p in omotopia/omologia: è un iso? Quando? E' un iso dal grado n in poi? A che ipotesi su p? E cosa ho appena trovato, guardando la mappa indotta da p in omo{logia, topia}, in termini dell'omo{logia, topia} del suo fascio delle sezioni?

[cianfa72]

una carta è un omeomorfismo da un aperto dello spazio topologico ad un aperto di \(\mathbb{R}^n\) per qualche \(n\). Non è nulla di più di quello.

E qui si annida una questione simile: la definizione di omeomorfismo si applica tra spazi topologici.

Quindi ritengo che nella definizione di carta vada esplicitamente detto che i due aperti (rispettivamente nella topologia di $X$ e di \(\mathbb{R}^n\)) devono esser in realta' considerati essi stessi come spazi topologici con la topologia indotta (anche detta relativa/del sottospazio).

Come la vedete ?

[solaàl]

Beh, questo è ovvio...

[cianfa72]

Beh, questo è ovvio...

Si e' ovvio....ma non capisco perche' non ce ne e' traccia in nessuno degli svariati testi che ho consultato.

Cercando in rete ho trovato questa nozione partial function che potrebbe andare in questa direzione.

La carta allora e' intesa come una "funzione parziale" tra l'intero spazio topologico $X$ e \( \mathbb{R}^n \) con dominio limitato ad un aperto. Nel dominio di definizione la carta e' 1-1 e mappa aperti di $X$ in aperti di \( \mathbb{R}^n \) e viceversa.

[solaàl]

A rigore, "una funzione continua \(f : X \to \mathbb R\)" è sbagliato: devi dire quali topologie ci sono su dominio e codominio, perché a seconda di quelle, \(f\) è una costante, è una funzione qualsiasi, etc. Il fatto è che su \(\mathbb R\) esiste "la" topologia, quella generata dagli intervalli a estremi razionali, che diventa "la" topologia perché ha un sacco di ottime proprietà di regolarità.

Allo stesso modo, se \((X,\tau)\) è uno spazio topologico, e \(S\) un suo sottoinsieme, la prassi è di menzionare la topologia di $S$ solo se è diversa dalla topologia di sottospazio.

[cianfa72]

Comunque, cerca cerca, ho trovato riferimento alla questione che stiamo discutendo nel testo M.A. Armstrong - Basic Topology pag.15

[vict85]

Beh, questo è ovvio...

Si e' ovvio....ma non capisco perche' non ce ne e' traccia in nessuno degli svariati testi che ho consultato.

Cercando in rete ho trovato questa nozione partial function che potrebbe andare in questa direzione.

La carta allora e' intesa come una "funzione parziale" tra l'intero spazio topologico $ X $ e \( \mathbb{R}^n \) con dominio limitato ad un aperto. Nel dominio di definizione la carta e' 1-1 e mappa aperti di $ X $ in aperti di \( \mathbb{R}^n \) e viceversa.

Non capisco perché vuoi vedere per forza le carte come qualcosa di tutto lo spazio. Esplicitando le topologia puoi definire le carte come segue:

Sia \((T,\tau)\) uno spazio topologico. Si dice carta un qualsiasi omeomorfismo tra un aperto \(U\subset T\), dotato della topologia di sottospazio, e un aperto \(V \subset \mathbb{R}^n\), dotato della topologia di sottospazio relativa alla topologia standard di \(\mathbb{R}^n\).

[solaàl]

Il motivo è che formalmente andrebbe specificato chi è il dominio \(U\) di una carta locale: il modo di farlo è dire che una carta è una particolare coppia \(\varphi : X \to \mathbb R^n\) il cui dominio è un aperto \(U\subseteq X\) con la topologia di sottospazio. Questo significa esattamente quel che ha detto OP.

Considerare funzioni parziali si fa spesso: prendi ad esempio le carte stereografiche della sfera di Riemann.

E se ti va, caratterizza gli isomorfismi nella categoria dei morfismi parziali:se \(\mathcal C\) è una categoria, \(\text{p}\mathcal C\) è la categoria con gli stessi oggetti di \(\mathcal C\), dove \(\text{p}\mathcal C(A,B)\) è l'insieme delle coppie \((i : U\subseteq A,f : U \to B)\). (Definisci tu composizione e identità in modo che sia una categoria.)

A che condizioni \(f \in \text{p}\mathcal C(A,B)\) è un isomorfismo? Che relazione ha questo con la proprietà che \(f\) sia una "carta con dominio $U$", ossia che \(f : A \to B\) non sia un iso o non esista, ma invece lo sia \(f|_U\)?