Bokonon ha scritto:La logica è:
- un endomorfismo che ha un'immagine di dimensione 0 è associato alla matrice nulla
- qualsiasi altro endomorfismo ha un'immagine di dimensione $1<=dim Im(f)<=n$
- dal teorema di rango + nullità sappiamo quindi che $0<=dim ker(f)<=n-1$.
- da cui segue che l'autospazio legato all'autovalore zero ha dimensione massima $n-1$
- poiché l'endomorfismo è simmetrico, sappiamo dal teorema spettrale che è diagonalizzabile e che ha esattamente n autovalori reali.
-quindi esiste almeno un autospazio collegato ad un autovalore diverso da zero.
Ecco capito il motivo: il mio prof usa questo fatto che esista almeno un autovalore diverso da zero per poter dimostrare a passi il teorema spettrale reale!
L'unico suggerimento per la dimostrazione è stato quello di dirci di considerare la matrice $A=A^T in M_n(RR)$ e interpretarla come matrice su $CC$ con il proprio prodotto scalare hermitiano di $(CC)^n$
Ma non ho davvero idea di come procedere.
Spero però di aver dato l'idea